Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{x({{\ln }^2}x + 1)}}} dx\)

\(\frac{\pi }{2}\)

\(-\frac{\pi }{2}\)

\(2ln2\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\). Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = \ln 1 = 0\) \(x = +\infty \Rightarrow t = +\infty \) Khi đó, tích phân trở thành: \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2} + 1}}dt} = \left. {arctant} \right|_0^{ + \infty } = \mathop {lim} \limits_{t \to + \infty } arctant - arctan0 = \frac{\pi }{2} - 0 = \frac{\pi }{2}\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 28:

Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx\), ta thực hiện các bước sau:

Đặt \(t = 1 + {x^2}\). Khi đó \(dt = 2xdx\), suy ra \(xdx = \frac{1}{2}dt\). Đồng thời, \({x^2} = t - 1\).

Đổi cận:
- Khi \(x = 0\), \(t = 1 + {0^2} = 1\).
- Khi \(x = \sqrt 7 \), \(t = 1 + {(\sqrt 7 )^2} = 1 + 7 = 8\).

Khi đó, tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^8 {\frac{{{x^2}.x}}{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^8 {\frac{{(t - 1)}}{{\sqrt[3]{t}}}.\frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}\int\limits_1^8 {\frac{{t - 1}}{{\sqrt[3]{t}}}} dt = \frac{1}{2}\int\limits_1^8 {({t^{\frac{2}{3}}} - {t^{ - \frac{1}{3}}})} dt\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{t^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} - \frac{{{t^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8 = \frac{1}{2}\left[ {\frac{3}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2}{t^{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8 = \frac{3}{2}\left[ {\frac{1}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{t^{\frac{2}{3}}}} \right]_1^8\)

\(= \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{8^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{8^{\frac{2}{3}}}) - (\frac{1}{5}{1^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{1^{\frac{2}{3}}})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{{(2^3)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{1}{2}{{(2^3)}^{\frac{2}{3}}}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right]\)

\(= \frac{3}{2}\left[ {(\frac{1}{5}{2^5} - \frac{1}{2}{2^2}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{{32}}{5} - \frac{4}{2}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {(\frac{{32}}{5} - 2) - (\frac{2}{{10}} - \frac{5}{{10}})} \right]\)

\(= \frac{3}{2}\left[ {\frac{{22}}{5} - ( - \frac{3}{{10}})} \right] = \frac{3}{2}\left[ {\frac{{44}}{{10}} + \frac{3}{{10}}} \right] = \frac{3}{2}.\frac{{47}}{{10}} = \frac{{141}}{{20}}\)

Vậy, tích phân bằng \(\frac{{141}}{{20}}\).

Câu 29:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: \(y = {2^x},y = 2,x = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {2^x},y = 2,x = 0\) được tính bằng tích phân xác định.

Ta có \(2^x = 2 \Leftrightarrow x = 1\). Do đó, cận tích phân là từ 0 đến 1.
Diện tích \(S = \int_0^1 |2 - 2^x| dx = \int_0^1 (2 - 2^x) dx = [2x - \frac{2^x}{\ln 2}]_0^1 = (2 - \frac{2}{\ln 2}) - (0 - \frac{1}{\ln 2}) = 2 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 2 - \frac{1}{\ln 2}\)

Vậy diện tích hình phẳng là \(2 - \frac{1}{{\ln 2}}\).

Câu 30:

Mệnh đề nào dưới đây đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xét hàm số f(x) liên tục trên [a, b].

* Nếu f(x) >= 0 với mọi x thuộc [a, b] thì tích phân từ a đến b của f(x)dx >= 0. Nếu tồn tại x0 thuộc [a, b] sao cho f(x0) > 0 thì tích phân từ a đến b của f(x)dx > 0.

Vậy đáp án đúng là: (∀x ∈ [a,b])f(x) ≥ 0 & ∃x0 ∈ [a,b]f(x0) > 0 ⇒ ∫abf(x)dx > 0.

Câu 1:

Tính \(\int {\sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)} + C\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm: \(\int sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}cos(ax+b) + C\).

Áp dụng vào bài toán, ta có:

\(\int sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) dx = \int sin(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) dx = -\frac{1}{-\frac{1}{2}}cos(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) + C = 2cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) + C\).

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 2:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}\), ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

\(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)

\(dv = 8xdx \Rightarrow v = 4x^2\)

Khi đó, tích phân trở thành:

\(I = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - \int\limits_1^e {4x^2.\frac{1}{x}dx} = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - \int\limits_1^e {4xdx} \)

\(I = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - 2x^2\bigg|_1^e\)

\(I = (4e^2\ln e - 4.1^2\ln 1) - (2e^2 - 2.1^2) = (4e^2 - 0) - (2e^2 - 2) = 4e^2 - 2e^2 + 2 = 2e^2 + 2\)

Vậy, \(I = 2e^2 + 2\).

Câu 3:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {4\cot xdx}\)

Lời giải: