Tính tích phân \(\int\limits_0^{2008\pi } {\sin (2008x + \sin )dx} \)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Đặt \(t = \sqrt{e^x+1}\), suy ra \(t^2 = e^x+1 \Rightarrow 2tdt = e^x dx \Rightarrow dx = \frac{2t}{e^x} dt = \frac{2t}{t^2-1} dt\). Khi \(x=0\) thì \(t = \sqrt{2}\), khi \(x = \ln 3\) thì \(t=\sqrt{e^{\ln 3}+1} = \sqrt{3+1} = 2\). Vậy
\(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} = \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt = \int_{\sqrt{2}}^2 \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt\)
\(= \ln |t-1| - \ln |-t-1| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{t-1}{t+1}| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{2-1}{2+1}| - \ln |\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}| = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = \ln \frac{1}{3} - \ln ((\sqrt{2}-1)^2) = \ln \frac{1}{3} - 2\ln (\sqrt{2}-1) = \ln \frac{1}{3} + 2\ln (\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (\sqrt{2}+1)^2 = \ln \frac{1}{3} + \ln (2+2\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (3+2\sqrt{2}) = \ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \)
\(= \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(2-2\sqrt{2}+1)} = \ln \frac{1}{3(3-2\sqrt{2})} \)
Nhân liên hợp ta được \(\ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3}\). Đáp án là \(\ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{3(\sqrt 2 - 1)}}\)
\(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} = \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt = \int_{\sqrt{2}}^2 \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt\)
\(= \ln |t-1| - \ln |-t-1| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{t-1}{t+1}| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{2-1}{2+1}| - \ln |\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}| = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = \ln \frac{1}{3} - \ln ((\sqrt{2}-1)^2) = \ln \frac{1}{3} - 2\ln (\sqrt{2}-1) = \ln \frac{1}{3} + 2\ln (\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (\sqrt{2}+1)^2 = \ln \frac{1}{3} + \ln (2+2\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (3+2\sqrt{2}) = \ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \)
\(= \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(2-2\sqrt{2}+1)} = \ln \frac{1}{3(3-2\sqrt{2})} \)
Nhân liên hợp ta được \(\ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3}\). Đáp án là \(\ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{3(\sqrt 2 - 1)}}\)
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta xét từng đáp án:
Đáp án 1:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) có \(u_n = \frac{1}{{{3^n} + 1}} \). Ta so sánh với chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) có \(v_n = \frac{1}{{{3^n}}} \). Vì \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{3^n} + 1}}}}{{\frac{1}{{{3^n}}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}}}{{{3^n} + 1}} = 1\) mà chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 1 sai.
Đáp án 2:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} }}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 2 sai.
Đáp án 3:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) có \(u_n = \frac{{4n}}{{{3^n} + 10}} > 0\). Xét \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}}}{{{u_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{4(n + 1)}}{{{3^{n + 1}} + 10}}}}{{\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{(n + 1)({3^n} + 10)}}{{n({3^{n + 1}} + 10)}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n{3^n} + 10n + {3^n} + 10}}{{n{3^{n + 1}} + 10n}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}(n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}})}}{{{3^{n + 1}}(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}}}}{{3(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \frac{1}{3} < 1\). Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 3 đúng.
Đáp án 4:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{e^{ - n}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{e} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 4 đúng.
Vì đề bài yêu cầu chọn một đáp án đúng duy nhất, ta chọn đáp án 3 vì nó tổng quát hơn, cần nhiều bước tính toán để chứng minh hơn so với đáp án 4.
Đáp án 1:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) có \(u_n = \frac{1}{{{3^n} + 1}} \). Ta so sánh với chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) có \(v_n = \frac{1}{{{3^n}}} \). Vì \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{3^n} + 1}}}}{{\frac{1}{{{3^n}}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}}}{{{3^n} + 1}} = 1\) mà chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 1 sai.
Đáp án 2:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} }}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 2 sai.
Đáp án 3:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) có \(u_n = \frac{{4n}}{{{3^n} + 10}} > 0\). Xét \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}}}{{{u_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{4(n + 1)}}{{{3^{n + 1}} + 10}}}}{{\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{(n + 1)({3^n} + 10)}}{{n({3^{n + 1}} + 10)}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n{3^n} + 10n + {3^n} + 10}}{{n{3^{n + 1}} + 10n}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}(n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}})}}{{{3^{n + 1}}(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}}}}{{3(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \frac{1}{3} < 1\). Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 3 đúng.
Đáp án 4:
Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{e^{ - n}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{e} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 4 đúng.
Vì đề bài yêu cầu chọn một đáp án đúng duy nhất, ta chọn đáp án 3 vì nó tổng quát hơn, cần nhiều bước tính toán để chứng minh hơn so với đáp án 4.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\), ta cần xét dấu của biểu thức \({e^x} - 1\) trên đoạn \([-1, 1]\).
Ta có \({e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Khi \(x < 0\) thì \({e^x} < 1\), suy ra \({e^x} - 1 < 0\). Do đó, trên khoảng \((-1, 0)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = 1 - {e^x}\).
Khi \(x > 0\) thì \({e^x} > 1\), suy ra \({e^x} - 1 > 0\). Do đó, trên khoảng \((0, 1)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = {e^x} - 1\).
Vậy, ta có:
\(\begin{aligned}\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx &= \int\limits_{ - 1}^0 {(1 - {e^x})dx} + \int\limits_0^1 {({e^x} - 1)dx} \\&= \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1\\&= \left[ {(0 - {e^0}) - ( - 1 - {e^{ - 1}})} \right] + \left[ {({e^1} - 1) - ({e^0} - 0)} \right]\\&= \left[ { - 1 + 1 + \frac{1}{e}} \right] + \left[ {e - 1 - 1} \right]\\&= \frac{1}{e} + e - 2\\&= e + \frac{1}{e} - 2\end{aligned}\)
Vậy đáp án đúng là \(e + \frac{1}{e} - 2\).
Ta có \({e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Khi \(x < 0\) thì \({e^x} < 1\), suy ra \({e^x} - 1 < 0\). Do đó, trên khoảng \((-1, 0)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = 1 - {e^x}\).
Khi \(x > 0\) thì \({e^x} > 1\), suy ra \({e^x} - 1 > 0\). Do đó, trên khoảng \((0, 1)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = {e^x} - 1\).
Vậy, ta có:
\(\begin{aligned}\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx &= \int\limits_{ - 1}^0 {(1 - {e^x})dx} + \int\limits_0^1 {({e^x} - 1)dx} \\&= \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1\\&= \left[ {(0 - {e^0}) - ( - 1 - {e^{ - 1}})} \right] + \left[ {({e^1} - 1) - ({e^0} - 0)} \right]\\&= \left[ { - 1 + 1 + \frac{1}{e}} \right] + \left[ {e - 1 - 1} \right]\\&= \frac{1}{e} + e - 2\\&= e + \frac{1}{e} - 2\end{aligned}\)
Vậy đáp án đúng là \(e + \frac{1}{e} - 2\).
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\), ta thực hiện phép đổi biến số sau:
Đặt \(t = \sqrt{x-1}\), suy ra \(t^2 = x - 1\) và \(x = t^2 + 1\). Khi đó \(dx = 2t dt\).
Đổi cận:
- Khi \(x = 1\) thì \(t = \sqrt{1-1} = 0\).
- Khi \(x = 2\) thì \(t = \sqrt{2-1} = 1\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^1 {\frac{{2t dt}}{{(t^2 + 1)t}}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} \)
Ta biết rằng \(\int {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = arctan(t) + C\).
Do đó, \(2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = 2[arctan(t)]_0^1 = 2(arctan(1) - arctan(0)) = 2(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2}\).
Vậy, \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\) = \frac{\pi }{2}\).
Đặt \(t = \sqrt{x-1}\), suy ra \(t^2 = x - 1\) và \(x = t^2 + 1\). Khi đó \(dx = 2t dt\).
Đổi cận:
- Khi \(x = 1\) thì \(t = \sqrt{1-1} = 0\).
- Khi \(x = 2\) thì \(t = \sqrt{2-1} = 1\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^1 {\frac{{2t dt}}{{(t^2 + 1)t}}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} \)
Ta biết rằng \(\int {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = arctan(t) + C\).
Do đó, \(2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = 2[arctan(t)]_0^1 = 2(arctan(1) - arctan(0)) = 2(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2}\).
Vậy, \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\) = \frac{\pi }{2}\).
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{(2 - \sqrt[3]{x} - {x^3})dx}}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^{ - \frac{3}{5}}} - {x^{ - \frac{3}{5} + \frac{1}{3}}} - {x^{ - \frac{3}{5} + 3}}} \right)dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^{ - \frac{3}{5}}} - {x^{ - \frac{4}{{15}}}} - {x^{\frac{{12}}{5}}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2\frac{{{x^{\frac{2}{5}}}}}{{\frac{2}{5}}} - \frac{{{x^{\frac{{11}}{{15}}}}}}{{\frac{{11}}{{15}}}} - \frac{{{x^{\frac{{17}}{5}}}}}{{\frac{{17}}{5}}}}\right)} \right|_0^1\\ = \left. {\left( {5{x^{\frac{2}{5}}} - \frac{{15}}{{11}}{x^{\frac{{11}}{{15}}}} - \frac{5}{{17}}{x^{\frac{{17}}{5}}}}\right)} \right|_0^1 = 5 - \frac{{15}}{{11}} - \frac{5}{{17}} = \frac{{625}}{{187}}.\end{array}\)
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy
89 tài liệu310 lượt tải
Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin
125 tài liệu441 lượt tải
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông
104 tài liệu687 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán
103 tài liệu589 lượt tải
Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp
377 tài liệu1030 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
99 tài liệu1062 lượt tải
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.
77.000 đ/ tháng