Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\), ta thực hiện phép đổi biến số sau:
Đặt \(t = \sqrt{x-1}\), suy ra \(t^2 = x - 1\) và \(x = t^2 + 1\). Khi đó \(dx = 2t dt\).
Đổi cận:
- Khi \(x = 1\) thì \(t = \sqrt{1-1} = 0\).
- Khi \(x = 2\) thì \(t = \sqrt{2-1} = 1\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^1 {\frac{{2t dt}}{{(t^2 + 1)t}}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} \)
Ta biết rằng \(\int {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = arctan(t) + C\).
Do đó, \(2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = 2[arctan(t)]_0^1 = 2(arctan(1) - arctan(0)) = 2(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2}\).
Vậy, \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\) = \frac{\pi }{2}\).
Đặt \(t = \sqrt{x-1}\), suy ra \(t^2 = x - 1\) và \(x = t^2 + 1\). Khi đó \(dx = 2t dt\).
Đổi cận:
- Khi \(x = 1\) thì \(t = \sqrt{1-1} = 0\).
- Khi \(x = 2\) thì \(t = \sqrt{2-1} = 1\).
Vậy tích phân trở thành:
\(\int\limits_0^1 {\frac{{2t dt}}{{(t^2 + 1)t}}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} \)
Ta biết rằng \(\int {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = arctan(t) + C\).
Do đó, \(2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t^2 + 1}}} = 2[arctan(t)]_0^1 = 2(arctan(1) - arctan(0)) = 2(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2}\).
Vậy, \(\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x - 1} }}}\) = \frac{\pi }{2}\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
