Tính tích phân \(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} \)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Đặt \(t = \sqrt{e^x+1}\), suy ra \(t^2 = e^x+1 \Rightarrow 2tdt = e^x dx \Rightarrow dx = \frac{2t}{e^x} dt = \frac{2t}{t^2-1} dt\). Khi \(x=0\) thì \(t = \sqrt{2}\), khi \(x = \ln 3\) thì \(t=\sqrt{e^{\ln 3}+1} = \sqrt{3+1} = 2\). Vậy
\(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} = \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{t^2-1} dt = 2 \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt = \int_{\sqrt{2}}^2 \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{-t-1} \right) dt\)
\(= \ln |t-1| - \ln |-t-1| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{t-1}{t+1}| \Big|_{\sqrt{2}}^2 = \ln |\frac{2-1}{2+1}| - \ln |\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}| = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = \ln \frac{1}{3} - \ln ((\sqrt{2}-1)^2) = \ln \frac{1}{3} - 2\ln (\sqrt{2}-1) = \ln \frac{1}{3} + 2\ln (\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (\sqrt{2}+1)^2 = \ln \frac{1}{3} + \ln (2+2\sqrt{2}+1) = \ln \frac{1}{3} + \ln (3+2\sqrt{2}) = \ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \)
\(= \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3} \cdot \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(\sqrt{2}-1)^2} = \ln \frac{1}{3(2-2\sqrt{2}+1)} = \ln \frac{1}{3(3-2\sqrt{2})} \)
Nhân liên hợp ta được \(\ln \frac{3+2\sqrt{2}}{3} = \ln \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{3}\). Đáp án là \(\ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{3(\sqrt 2 - 1)}}\)
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
