Tính tích phân \(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} \)
Đáp án đúng: D
Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 1 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \frac{{2tdt}}{{{t^2} - 1}}\)
Đổi cận:
Với \(x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 2 \)
Với \(x = \ln 3 \Rightarrow t = 2\)
Khi đó:
\(\int\limits_0^{\ln 3} {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}} = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} - 1} \right)t}}} = 2\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = 2\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}} - \frac{1}{{2\left( {t + 1} \right)}}dt\)
\(= \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{1}{{t - 1}}} - \frac{1}{{t + 1}}dt = \ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} |_{\sqrt 2 }^2 = \ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|_{\sqrt 2 }^2 = \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \ln \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}}} = \ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{3(\sqrt 2 - 1)}}}\)
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
