Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian cho kỳ thi THPT

Câu 1:

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P ):x+2y-3z+2=0$ . Giá trị $\sin$ của góc giữa trục $Ox$ và mặt phẳng $(P )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Véc tơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(1;2;-3)$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{i}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{i}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|1.1+0.2+0.(-3)|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}.\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{14}$

Câu 2:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(0;1;-2 )$ , $B(1;2;-1 )$ và mặt phẳng $(P ):x+y-z+2\,007=0$ . $Ssin$ của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;1;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;1;-1)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó: $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$

Câu 3:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $4$ điểm $A(-1;0;2 )$ , $B(1;3;-1 )$ , $C(1;4;2 )$ , $D(0;-1;1 )$ . Sin của góc giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(ABC )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $\overrightarrow{AD} = (1, -1, -1)$.

$\overrightarrow{AB} = (2, 3, -3)$ và $\overrightarrow{AC} = (2, 4, 0)$.

Suy ra $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (12, -6, 2)$.

Mặt phẳng $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (12, -6, 2)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa $AD$ và $(ABC)$. Khi đó:

$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}| |\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|12 + 6 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{12^2 + (-6)^2 + 2^2}} = \dfrac{16}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{144 + 36 + 4}} = \dfrac{16}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{184}} = \dfrac{16}{\sqrt{552}} = \dfrac{16}{2\sqrt{138}} = \dfrac{8}{\sqrt{138}} = \dfrac{8\sqrt{138}}{138} = \dfrac{4\sqrt{138}}{69}$

Vậy đáp án là $\dfrac{\sqrt{138}}{69}$

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{-1},$ $d_2:\left\{ \begin{aligned}& x=t \\& y=0 \\& z=-t \end{aligned} \right..$ Phương trình mặt phẳng $(P )$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc $45^\circ$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi $\vec{u_1} = (2, -2, -1)$ là VTCP của $d_1$ và $\vec{u_2} = (1, 0, -1)$ là VTCP của $d_2$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ nên $(P)$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$.

Gọi $\vec{n} = (A, B, C)$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$.

Vì $d_1 \subset (P)$ nên $\vec{n} \cdot \vec{u_1} = 0 \Leftrightarrow 2A - 2B - C = 0 \Leftrightarrow C = 2A - 2B$.

Vậy $\vec{n} = (A, B, 2A - 2B)$.

$(P)$ tạo với $d_2$ góc $45^{\circ}$ nên:

$\sin(45^{\circ}) = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{n}|.|\vec{u_2}|} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{|A - 2A + 2B|}{\sqrt{A^2 + B^2 + (2A - 2B)^2}.\sqrt{2}} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{|-A + 2B|}{\sqrt{A^2 + B^2 + 4A^2 + 4B^2 - 8AB}} \Leftrightarrow A^2 + 4B^2 - 4AB = 5A^2 + 5B^2 - 8AB \Leftrightarrow 4A^2 + B^2 - 4AB = 0 \Leftrightarrow (2A - B)^2 = 0 \Leftrightarrow B = 2A$.

$\Rightarrow \vec{n} = (A, 2A, -2A) = A(1, 2, -2)$.

Chọn $\vec{n} = (1, 2, -2)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $1(x - 1) + 2(y - 2) - 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 7 = 0$.

Câu 5:

Cho $M (-3; -1; 3)$ và $N (-1; 0; 2)$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + z + 4 = 0$ . Góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $\overrightarrow{MN} = (2; 1; -1)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; 2; 1)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó:

$\sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MN}|.|\overrightarrow{n}|} = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 2 - 1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\alpha = 30^\circ$.

Vậy góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(P)$ là $30^\circ$.

Câu 6:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}& x=1-3t \\& y=2+t \\& z=-1 \end{aligned} \right.$ . Sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(Oxz)$ bằng:

Lời giải: