Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian cho kỳ thi THPT

Câu 1:

Biết rằng hai mặt phẳng $(P ):x+2y+3z+1=0$ và $(Q ):(m+1 )x+(m+3 )y+6z+1=0$ song song với nhau. Giá trị của $m$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau, các vector pháp tuyến của chúng phải cùng phương, tức là tỉ lệ:
$\\frac{m+1}{1} = \\frac{m+3}{2} = \\frac{6}{3}$
$\\frac{m+1}{1} = 2 \\Rightarrow m+1 = 2 \\Rightarrow m=1$
$\\frac{m+3}{2} = 2 \\Rightarrow m+3 = 4 \\Rightarrow m=1$
Vậy $m=1$

Câu 2:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxy$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha): \, 3x+2y-z+1=0$ và $(\alpha'): \, 3x+2y-z-1=0$ . Vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\alpha')$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_\alpha} = (3; 2; -1)$ và vectơ pháp tuyến của $(\alpha')$ là $\overrightarrow{n_{\alpha'}} = (3; 2; -1)$.

Vì $\overrightarrow{n_\alpha} = \overrightarrow{n_{\alpha'}}$ nên $(\alpha)$ và $(\alpha')$ song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm $A(0; 0; 1)$ thuộc $(\alpha)$. Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình của $(\alpha')$, ta được $3(0) + 2(0) - 1 - 1 = -2 \neq 0$. Vậy $A$ không thuộc $(\alpha')$.

Do đó, $(\alpha)$ và $(\alpha')$ song song với nhau.

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+1=0$ và $(\beta ):-2x+my+2z-2=0$ . Giá trị $m$ để $(\alpha )$ song song với $(\beta )$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương, tức là:

$\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1, 1, -1)$
$\overrightarrow{n_{\beta}} = (-2, m, 2)$

Để hai vectơ này cùng phương, ta cần có:
$\frac{1}{-2} = \frac{1}{m} = \frac{-1}{2}$
Từ $\frac{1}{-2} = \frac{-1}{2}$, ta thấy điều này đúng.
Từ $\frac{1}{-2} = \frac{1}{m}$, suy ra $m = -2$.
Tuy nhiên, để hai mặt phẳng song song chứ không trùng nhau, ta cần kiểm tra điều kiện:
$\frac{1}{-2} = \frac{1}{m} = \frac{-1}{2} \neq \frac{1}{-2}$
Thay $m = -2$ vào phương trình mặt phẳng $(\beta )$, ta có: $(\beta ): -2x - 2y + 2z - 2 = 0$ hay $(\beta ): x + y - z + 1 = 0$, điều này có nghĩa là hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ trùng nhau.
Vậy, không có giá trị $m$ nào để $(\alpha )$ song song với $(\beta )$.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): \, 2x-2y+z+4=0$ . Khoảng cách $d$ từ điểm $M(1;2;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính theo công thức:

$d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Trong trường hợp này, ta có $M(1; 2; 1)$ và $(P): 2x - 2y + z + 4 = 0$.

Áp dụng công thức, ta có:

$d = \dfrac{|2(1) - 2(2) + 1 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \dfrac{|2 - 4 + 1 + 4|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \dfrac{3}{\sqrt{9}} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Câu 5:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P ):x-2y-2z+1=0$ và $(Q ):x-2y-2z+7=0$ . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P )$ và $(Q )$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): Ax + By + Cz + D_1 = 0$ và $(Q): Ax + By + Cz + D_2 = 0$ là:

$d(P, Q) = \dfrac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Trong bài toán này, ta có:

$A = 1$

$B = -2$

$C = -2$

$D_1 = 1$

$D_2 = 7$

Do đó:

$d(P, Q) = \dfrac{|7 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \dfrac{6}{\sqrt{9}} = \dfrac{6}{3} = 2$

Nhưng không có đáp án nào trùng với kết quả này. Xem xét lại công thức:

$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|7-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2$.

Có lẽ đáp án đúng là $\frac{8}{3}$ nếu đề bài sai sót.

Cách tính khoảng cách là:

Chọn $M(0,0,\frac{1}{2}) \in (P)$.

$d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = \frac{|0 - 2*0 -2*\frac{1}{2} + 7|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}} = \frac{|-1+7|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2$.

Câu 6:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(\alpha):Ax+By+Cz+D=0$ . Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng

Lời giải: