Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian cho kỳ thi THPT

Câu 1:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{-2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+1}{-1}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng vuông góc với $d$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec{u} = (-2; 3; -1)$.
Để đường thẳng vuông góc với $d$, vector chỉ phương của nó phải vuông góc với $\vec{u}$. Tức là tích vô hướng của hai vector chỉ phương phải bằng 0.
Xét đáp án A: $\vec{u_A} = (2; 1; -1)$. Ta có $\vec{u} \cdot \vec{u_A} = -2*2 + 3*1 + (-1)*(-1) = -4 + 3 + 1 = 0$. Vậy A đúng.
Xét đáp án B: $\vec{u_B} = (2; 3; 1)$. Ta có $\vec{u} \cdot \vec{u_B} = -2*2 + 3*3 + (-1)*1 = -4 + 9 - 1 = 4 \neq 0$. Vậy B sai.
Xét đáp án C: $\vec{u_C} = (2; 1; 1)$. Ta có $\vec{u} \cdot \vec{u_C} = -2*2 + 3*1 + (-1)*1 = -4 + 3 - 1 = -2 \neq 0$. Vậy C sai.
Xét đáp án D: $\vec{u_D} = (2; -3; 1)$. Ta có $\vec{u} \cdot \vec{u_D} = -2*2 + 3*(-3) + (-1)*1 = -4 - 9 - 1 = -14 \neq 0$. Vậy D sai.
Vậy, đáp án đúng là A.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}& x=2+3t \\& y=-3+t \\& z=4-2t \end{aligned} \right.$ và ${d}':\dfrac{x-4}{9}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z}{-6}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng trên là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có véctơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u} = (3, 1, -2)$ và véctơ chỉ phương của $d'$ là $\overrightarrow{u'} = (9, 3, -6)$.

Nhận thấy $\overrightarrow{u'} = 3\overrightarrow{u}$ nên hai véctơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ cùng phương, suy ra hai đường thẳng $d$ và $d'$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A(2, -3, 4) \in d$. Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d'$ ta có:

$\dfrac{2-4}{9} = \dfrac{-3+1}{3} = \dfrac{4}{-6} \Leftrightarrow \dfrac{-2}{9} = \dfrac{-2}{3} = \dfrac{-2}{3}$ (vô lý).

Suy ra $A \notin d'$. Vậy $d$ và $d'$ song song.

Câu 3:

Trong không gian $Oxyz,$ cho phương trình của hai đường thẳng: $d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$ và $d_2:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-2}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:

$d_1$ đi qua điểm $M_1(0,0,1)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (2,-1,1)$

$d_2$ đi qua điểm $M_2(3,0,0)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1,1,-2)$

Tính tích có hướng của hai vector chỉ phương:

$\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1,-(-4-1),2+1) = (1,5,3)$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \ne \overrightarrow{0}$, suy ra $d_1$ và $d_2$ không song song và không trùng nhau.

Xét tích hỗn tạp:

$\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2} = (1,5,3) \cdot (3,0,-1) = 1 \cdot 3 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) = 3 + 0 - 3 = 0$

Vì tích hỗn tạp bằng 0 nên hai đường thẳng đồng phẳng, do đó $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Câu 4:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{-2} = \dfrac{y+ 2}{1} = \dfrac{z-4}{3}$ và $d': \left\{ \begin{aligned} &x=-1+t \\&y=-t \\&z=-2+3t \end{aligned} \right.$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1, -2, 4)$ và có vector chỉ phương $\vec{u} = (-2, 1, 3)$.
Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $N(-1, 0, -2)$ và có vector chỉ phương $\vec{v} = (1, -1, 3)$.
Ta có $\vec{MN} = (-2, 2, -6)$.
Tính tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$: $\left[\vec{u}, \vec{v}\right] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (6, 9, 1)$.
Tính tích hỗn tạp $\left[\vec{u}, \vec{v}\right] \cdot \vec{MN} = (6, 9, 1) \cdot (-2, 2, -6) = -12 + 18 - 6 = 0$.
Vì tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ và tích hỗn tạp bằng 0 nên hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}&x=1-t \\&y=2+2t \\&z=3t \end{aligned} \right.$ và $\Delta:\left\{ \begin{aligned} &x=1+t' \\&y=3-2t' \\&z=1 \end{aligned} \right.$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\vec{u} = (-1, 2, 3)$.
Đường thẳng $\Delta$ có vector chỉ phương $\vec{v} = (1, -2, 0)$.
Ta thấy $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương (vì không tồn tại $k$ để $\vec{u} = k\vec{v}$).
Xét tích có hướng $[\vec{u}, \vec{v}] = (6, 3, 0)$.
Lấy điểm $A(1, 2, 0)$ thuộc $d$ và điểm $B(1, 3, 1)$ thuộc $\Delta$.
$\vec{AB} = (0, 1, 1)$.
Tính tích hỗn tạp $[\vec{u}, \vec{v}] . \vec{AB} = (6, 3, 0) . (0, 1, 1) = 6*0 + 3*1 + 0*1 = 3 \neq 0$.
Vậy hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ chéo nhau.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z}{-6}.$ và $d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-5}{3}.$ Vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ là

Lời giải: