Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(2;1;1) và vuông góc với trục tung là
A. z=1
B. 2x+y+z−4=0
C. y=1
D. x=2
Đáp án
Đáp án đúng: D
Mặt phẳng vuông góc với trục tung (trục Oy) thì nhận $\overrightarrow{j}=(0;1;0)$ làm vector pháp tuyến. Do mặt phẳng đi qua $A(2;1;1)$ nên phương trình mặt phẳng là: $0(x-2)+1(y-1)+0(z-1)=0 \Leftrightarrow y-1=0 \Leftrightarrow y=1$.
Mặt phẳng vuông góc với trục tung (trục Oy) thì nhận $\overrightarrow{j}=(0;1;0)$ làm vector pháp tuyến. Do mặt phẳng đi qua $A(2;1;1)$ nên phương trình mặt phẳng là: $0(x-2)+1(y-1)+0(z-1)=0 \Leftrightarrow y-1=0 \Leftrightarrow y=1$.
Trục $Oy$ có phương trình là $x = 0$ và $z = 0$. Do đó, mặt phẳng chứa trục $Oy$ phải có dạng $Ax + Bz = 0$. Trong các phương án, chỉ có $x + 3z = 0$ thỏa mãn.
Phương trình mặt phẳng trung trực của $OM$ là: $2(x-1) -1(y+\frac{1}{2}) -1(z+\frac{1}{2}) = 0 \Leftrightarrow 2x-2-y-\frac{1}{2}-z-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow 2x-y-z-3=0$. Nhân cả 2 vế với -1 ta được: $-2x+y+z+3=0$ hay $2x+y+z+3=0$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0; 1; 2)$ và có vector chỉ phương $\vec{u} = (1; -1; 0)$. Vì mặt phẳng $(P)$ đi qua gốc tọa độ $O$ nên $\vec{OM} = (0; 1; 2)$ là một vector nằm trên mặt phẳng $(P)$. Khi đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\vec{n} = \left[\vec{u}, \vec{OM}\right] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-2; -2; 1)$. Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $-2x - 2y + z = 0$ hay $2x + 2y - z = 0$. Chọn đáp án C. *Lưu ý: Đề bài có vẻ bị sai sót, không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán.* Sửa lại đáp án D thành $-x+y-z/2=0$ thì đáp án D đúng, hoặc sửa lại đáp án C thành $2x+2y-z=0$ thì đáp án C đúng