JavaScript is required

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho mặt phẳng (P):2x2y+z+1=0(P ):2x-2y+z+1=0và đường thẳng d:{x=1ty=tz=1+2td:\left\{ \begin{aligned} & x=1-t \\& y=t \\& z=1+2t \end{aligned} \right.. Phương trình của đường thẳng Δ\Delta đi qua M(0;1;1)M(0;-1;1 ), cắt dd và tạo với mặt phẳng(P)(P ) một góc α\alpha với sinα=112\sin \alpha =\dfrac{1}{12}

A. {x=(29+29)ty=1+(2929)tz=1+229t\left\{ \begin{aligned}& x=(29+\sqrt{29} )t \\& y=-1+(29-\sqrt{29} )t \\& z=1+2\sqrt{29}t \end{aligned} \right..
B. {x=(29+29)ty=1+(2929)tz=1229t\left\{ \begin{aligned}& x=(29+\sqrt{29} )t \\& y=-1+(29-\sqrt{29} )t \\& z=1-2\sqrt{29}t \end{aligned} \right..
C. {x=(2929)ty=1+(2929)tz=1229t\left\{ \begin{aligned}& x=(29-\sqrt{29} )t \\& y=-1+(29-\sqrt{29} )t \\& z=1-2\sqrt{29}t \end{aligned} \right..
D. {x=(29+29)ty=1+(29+29)tz=1+229t\left\{ \begin{aligned}& x=(-29+\sqrt{29} )t \\& y=-1+(29+\sqrt{29} )t \\& z=1+2\sqrt{29}t \end{aligned} \right..
Trả lời:

Đáp án đúng: D


Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $d$, suy ra $A(1-t; t; 1+2t)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-t; t+1; 2t)$.
Vì $\Delta$ đi qua $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{MA}$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(1-t)u \\& y=-1+(t+1)u \\& z=1+2tu \end{aligned} \right.$
Véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2; -2; 1)$.
Ta có $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MA}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{1}{12}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{|2(1-t)-2(t+1)+2t|}{\sqrt{(1-t)^2+(t+1)^2+(2t)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|-2t|}{\sqrt{6t^2+2} \cdot 3} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4t^2}{9(6t^2+2)} = \dfrac{1}{144}$
$\Leftrightarrow 576t^2 = 54t^2 + 18$
$\Leftrightarrow 522t^2 = 18$
$\Leftrightarrow t^2 = \dfrac{1}{29}$
$\Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{\sqrt{29}}$
Với $t = \dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; \dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}-1; \sqrt{29}+1; 2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}-1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}+1)u \\& z=1+2u \end{aligned} \right.$
Với $t = -\dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; -\dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}+1; \sqrt{29}-1; -2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}+1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}-1)u \\& z=1-2u \end{aligned} \right.$
Do đó, chỉ có đáp án D thỏa mãn.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan