Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và có các đỉnh lần lượt là ; ; ; ; , với .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
Trả lời:
Đáp án đúng:
Ta có $\overrightarrow{SD} = (0; 2a; -2a)$. Mặt phẳng $(SAC)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left[\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SC}\right] = \left[(0,0,-2a), (a, a, -2a)\right] = (2a^2, -2a^2, 0)$.
Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\alpha$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SD}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|0 - 4a^3 + 0|}{\sqrt{0 + 4a^2 + 4a^2}.\sqrt{4a^4 + 4a^4 + 0}} = \dfrac{4a^3}{\sqrt{8a^2}.\sqrt{8a^4}} = \dfrac{4a^3}{8a^3} = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $\alpha = 30^\circ$.
Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\alpha$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SD}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{|0 - 4a^3 + 0|}{\sqrt{0 + 4a^2 + 4a^2}.\sqrt{4a^4 + 4a^4 + 0}} = \dfrac{4a^3}{\sqrt{8a^2}.\sqrt{8a^4}} = \dfrac{4a^3}{8a^3} = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra $\alpha = 30^\circ$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
10/09/2025
0 lượt thi
0 / 20
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $d$, suy ra $A(1-t; t; 1+2t)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-t; t+1; 2t)$.
Vì $\Delta$ đi qua $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{MA}$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(1-t)u \\& y=-1+(t+1)u \\& z=1+2tu \end{aligned} \right.$
Véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2; -2; 1)$.
Ta có $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MA}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{1}{12}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{|2(1-t)-2(t+1)+2t|}{\sqrt{(1-t)^2+(t+1)^2+(2t)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|-2t|}{\sqrt{6t^2+2} \cdot 3} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4t^2}{9(6t^2+2)} = \dfrac{1}{144}$
$\Leftrightarrow 576t^2 = 54t^2 + 18$
$\Leftrightarrow 522t^2 = 18$
$\Leftrightarrow t^2 = \dfrac{1}{29}$
$\Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{\sqrt{29}}$
Với $t = \dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; \dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}-1; \sqrt{29}+1; 2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}-1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}+1)u \\& z=1+2u \end{aligned} \right.$
Với $t = -\dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; -\dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}+1; \sqrt{29}-1; -2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}+1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}-1)u \\& z=1-2u \end{aligned} \right.$
Do đó, chỉ có đáp án D thỏa mãn.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-t; t+1; 2t)$.
Vì $\Delta$ đi qua $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{MA}$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(1-t)u \\& y=-1+(t+1)u \\& z=1+2tu \end{aligned} \right.$
Véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2; -2; 1)$.
Ta có $\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MA}|.|\overrightarrow{n}|} = \dfrac{1}{12}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{|2(1-t)-2(t+1)+2t|}{\sqrt{(1-t)^2+(t+1)^2+(2t)^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|-2t|}{\sqrt{6t^2+2} \cdot 3} = \dfrac{1}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4t^2}{9(6t^2+2)} = \dfrac{1}{144}$
$\Leftrightarrow 576t^2 = 54t^2 + 18$
$\Leftrightarrow 522t^2 = 18$
$\Leftrightarrow t^2 = \dfrac{1}{29}$
$\Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{\sqrt{29}}$
Với $t = \dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; \dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}-1; \sqrt{29}+1; 2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}-1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}+1)u \\& z=1+2u \end{aligned} \right.$
Với $t = -\dfrac{1}{\sqrt{29}}$ thì $\overrightarrow{MA}=(1+\dfrac{1}{\sqrt{29}}; 1-\dfrac{1}{\sqrt{29}}; -\dfrac{2}{\sqrt{29}})$.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(\sqrt{29}+1; \sqrt{29}-1; -2)$.
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\left\{ \begin{aligned}& x=(\sqrt{29}+1)u \\& y=-1+(\sqrt{29}-1)u \\& z=1-2u \end{aligned} \right.$
Do đó, chỉ có đáp án D thỏa mãn.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại $O$.\nTa có $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 2a = a$ và $BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \cdot 2 = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.\nXét tam giác $SOA$ vuông tại $O$, ta có $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - a^2} = 0$, điều này không đúng. Vậy $S$ phải nằm trên trục $Oz$.\nGọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $BD$.\nVì $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$, nên $SH \perp (ABCD)$.\nGóc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SHO}$.\nTa có $SH = a$.\nXét tam giác $SHO$ vuông tại $H$, ta có $\tan \widehat{SHO} = \dfrac{SO}{OH} = \dfrac{a}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\nSuy ra $\widehat{SHO} = \arctan \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 40.89^\circ$.\nTuy nhiên, theo hình vẽ, $SO$ vuông góc với đáy tại $A$, vậy góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và $AO$, tức là $\widehat{SAO} = 45^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có tọa độ các điểm $A(7; -4; \frac{4}{5})$ và $B(7; 11; 0)$.
Khi đó, $\overrightarrow{AB} = (0; 15; -\frac{4}{5})$.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$.
Ta có:
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{k}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + (-\frac{4}{5}) \cdot 1|}{\sqrt{0^2 + 15^2 + (-\frac{4}{5})^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{225 + \frac{16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5625 + 16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5641}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{5641}}{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5641}} \approx 0.0532$.
$\Rightarrow \alpha = \arcsin(0.0532) \approx 3.04^\circ$.
Vậy góc giữa đường bay và sân bay xấp xỉ $3^\circ$.
Khi đó, $\overrightarrow{AB} = (0; 15; -\frac{4}{5})$.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$.
Ta có:
$\sin \alpha = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{k}|} = \dfrac{|0 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + (-\frac{4}{5}) \cdot 1|}{\sqrt{0^2 + 15^2 + (-\frac{4}{5})^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{225 + \frac{16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5625 + 16}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\sqrt{\frac{5641}{25}}} = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{5641}}{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5641}} \approx 0.0532$.
$\Rightarrow \alpha = \arcsin(0.0532) \approx 3.04^\circ$.
Vậy góc giữa đường bay và sân bay xấp xỉ $3^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có $\overrightarrow{M N}=(-1 ; 2 ;-2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $a$.
Ta có $\overrightarrow{P Q}=(2 ; 3 ; 6)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $b$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, ta có:
$\cos \alpha=\frac{|\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{P Q}|}{|\overrightarrow{M N}| \cdot|\overrightarrow{P Q}|}=\frac{|-1 \cdot 2+2 \cdot 3+(-2) \cdot 6|}{\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}}=\frac{|-2+6-12|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{49}}=\frac{|-8|}{3 \cdot 7}=\frac{8}{21}$
$\Rightarrow \alpha \approx 67.60^{\circ}$
Vậy $n=68$.
Ta có $\overrightarrow{P Q}=(2 ; 3 ; 6)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $b$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, ta có:
$\cos \alpha=\frac{|\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{P Q}|}{|\overrightarrow{M N}| \cdot|\overrightarrow{P Q}|}=\frac{|-1 \cdot 2+2 \cdot 3+(-2) \cdot 6|}{\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}}=\frac{|-2+6-12|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{49}}=\frac{|-8|}{3 \cdot 7}=\frac{8}{21}$
$\Rightarrow \alpha \approx 67.60^{\circ}$
Vậy $n=68$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường ống và mặt sàn.
Ta có:
$sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{k}|} = \frac{|(0)(0) + (1)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \alpha = arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^\circ$
Vậy góc giữa đường ống và mặt sàn là $45^\circ$.
- Vectơ chỉ phương của đường ống là $\overrightarrow{AB} = (0; 1; 1)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt sàn $(Oxy)$ là $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$.
Ta có:
$sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{k}|} = \frac{|(0)(0) + (1)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \alpha = arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^\circ$
Vậy góc giữa đường ống và mặt sàn là $45^\circ$.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
