Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi đạo hàm của nó lớn hơn 0 với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Xét đáp án A: $y = x^4 + x^2 + 1$. Đạo hàm $y' = 4x^3 + 2x$. $y' = 0$ tại $x=0$. Hàm số này không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Xét đáp án B: $y = \frac{x}{x+1}$. Đạo hàm $y' = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$ nhưng hàm số không xác định tại $x = -1$, do đó hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Xét đáp án C: $y = x^3 + x$. Đạo hàm $y' = 3x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Vậy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Xét đáp án D: $y = -x + 3$. Đạo hàm $y' = -1 < 0$. Hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$.