Câu hỏi:

Ta có $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx $.\nĐặt $t = x^2 + 1$, suy ra $dt = 2x dx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2} dt$.\nKhi đó, $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+1} + C$.

Gọi $N(t)$ là số lượng cá thể vi khuẩn tại thời điểm $t$. Ta có:
$\frac{dN}{dt} = r(t) = 0.391e^{0.21t}$
$\Rightarrow N(t) = \int 0.391e^{0.21t} dt = \frac{0.391}{0.21}e^{0.21t} + C = 1.8619e^{0.21t} + C$
Theo đề bài, $N(0) = 600$, nên:
$600 = 1.8619e^{0.21(0)} + C = 1.8619 + C$
$\Rightarrow C = 600 - 1.8619 = 598.1381 \approx 600$
Vậy, $N(t) = 600 + 1.862e^{0.21t}$

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta có $SO \perp (ABCD)$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều cạnh $a$ nên:

$AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SM = 2MC \Rightarrow \frac{SM}{SC} = \frac{2}{3}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OC$. Khi đó $\frac{MH}{SO} = \frac{MC}{SC} = \frac{1}{3} \Rightarrow MH = \frac{1}{3}SO = \frac{a\sqrt{2}}{6}$

Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $(ABCD)$. Suy ra $K$ thuộc $OC$ và $MK = MH = \frac{a\sqrt{2}}{6}$

Góc giữa $AM$ và $(ABCD)$ là $\widehat{MAK}$

Ta có $AK = AO + OK = AO + \frac{1}{3}OC = \frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$

$\tan \widehat{MAK} = \frac{MK}{AK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{6}}{\frac{2a\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{4}$ => $\tan \widehat{MAK} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ta có: $OK=\frac{1}{3}OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}a\sqrt{2}$

$AK = AO+OK = \frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{a\sqrt{2}}{6} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$

$tan \alpha = \frac{MK}{AK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{6}}{\frac{2a\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{4}$

$
$\tan \widehat{MAK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{3} + \frac{a\sqrt{2}}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}} = \frac{1}{4}$ => Đáp án D

Ta có $\vec{a} = (2; -1; 1)$ và $\vec{b} = (0; 1; -1)$.

Vectơ $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ có tọa độ là:

$\vec{c} = ((-1)(-1) - (1)(1); (1)(0) - (2)(-1); (2)(1) - (-1)(0)) = (1 - 1; 0 + 2; 2 - 0) = (0; 2; 2)$

Xem lại đề bài và các đáp án.

Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng đó.
Các vectơ cùng phương với một vectơ pháp tuyến cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Ta thấy:
$\overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{d} = -\overrightarrow{a}$
Vậy $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ đều là các vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$. Tuy nhiên, chỉ có đáp án A là thỏa mãn đề bài.