Ta có $5^{x^2-x} < 25 \Leftrightarrow 5^{x^2-x} < 5^2 \Leftrightarrow x^2 - x < 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 < 0$. Xét $x^2 - x - 2 = 0$ có nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 2$. Vậy nghiệm của bất phương trình là $-1 < x < 2$, hay $x \in (-1;2)$.
Ta có $5^{x^2-x} < 25 \Leftrightarrow 5^{x^2-x} < 5^2 \Leftrightarrow x^2 - x < 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 < 0$. Xét $x^2 - x - 2 = 0$ có nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 2$. Vậy nghiệm của bất phương trình là $-1 < x < 2$, hay $x \in (-1;2)$.
Ta có: ${{3}^{{{x}^{2}}+2}}\le {{9}^{x+1}} \Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}+2}}\le {{3}^{2(x+1)}} \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\le 2(x+1) \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\le 2x+2 \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x\le 0 \Leftrightarrow x(x-2)\le 0 \Leftrightarrow 0\le x\le 2$. Vì $x$ là số nguyên nên $x\in \{0;1;2\}$. Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.
Ta có $\dfrac{1}{32} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$. Bất phương trình trở thành: $\left(\dfrac{1}{2} \right)^{x^2+4x} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$ Vì $\dfrac{1}{2} < 1$ nên bất phương trình tương đương với: $x^2 + 4x < 5$ $x^2 + 4x - 5 < 0$ $(x-1)(x+5) < 0$ $-5 < x < 1$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-5; 1)$. Do đó, $a = -5$ và $b = 1$. Vậy $b - a = 1 - (-5) = 1 + 5 = 6$.