Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 7: Ứng dụng hình học của tích phân để tính diện tích hình phẳng

Câu 1:

Diện tích hình phẳng $\left(H \right)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ $\left(a<b \right)$ (phần gạch chéo như hình vẽ) được tính theo công thức nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: undefined

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ được tính bằng công thức: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = |\int_{a}^{b} f(x) dx|$.
Do đó, đáp án đúng là $S=\left|\displaystyle \int\limits_{a}^{b}{f\left(x \right)}dx \right|$.

Câu 2:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x$ , trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=\pi$ bằng $1$ .

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ là: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.
Trong trường hợp này, ta cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \cos x$, trục tung ($x = 0$), trục hoành ($y = 0$) và đường thẳng $x = \pi$.
Ta có: $S = \int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$.
Vì $\cos x$ dương trên $[0, \frac{\pi}{2}]$ và âm trên $[rac{\pi}{2}, \pi]$, ta tách tích phân:
$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x dx$.
Ta có: $\int \cos x dx = \sin x + C$.
Vậy: $S = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) - (\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}) = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$.

Câu 3:

Cho đồ thị $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Công thức diện tích miền được gạch sọc ở hình bên là

Lời giải:

Đáp án đúng: undefined

Quan sát đồ thị, ta thấy:

Parabol có đỉnh là $(0;3)$ nên có dạng $y = ax^2 + 3$
Parabol đi qua điểm $(1;2)$ nên $2 = a(1)^2 + 3 \Rightarrow a = -1$
Vậy, phương trình của parabol là $y = -x^2 + 3$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = -x^2 + 3$ và trục $Ox$ từ $-1$ đến $2$ là:
$\displaystyle S = \int_{-1}^{2} |-x^2 + 3| dx = \int_{-1}^{2} (-(-x^2 + 3)) dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2+2x+4) dx$ (do phần diện tích nằm phía trên trục Ox)

Câu 4:

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x$ , $y=1$ , $x=0$ , $x=2$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$ là $S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Trong trường hợp này, $f(x) = 2^x$, $g(x) = 1$, $a=0$, $b=2$.
Vì vậy, $S = \int_0^2 |2^x - 1| dx$.
Vì $2^x \ge 1$ trên $[0, 2]$ khi $x \ge 0$, nên $|2^x - 1| = 2^x - 1$. Vậy $S = \int_0^2 (2^x - 1) dx$.
Do đó, đáp án sai là $S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} (1-2^x)\,\mathrm{d}x$.

Câu 5:

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ và $y=g\left(x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:

Diện tích $S$ của phần gạch chéo trong hình vẽ trên được tính bằng công thức là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Giải thích đáp án A