Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 5: Tích phân của hàm số lũy thừa; phân thức hữu tỉ

10 câu hỏi 40 phút

Thẻ ghi nhớ

Luyện tập

Nhấn để lật thẻ

1 / 10

Nếu $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{f(x)\mathrm{d}x}=3$ thì $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x$ bằng

Đáp án

Ta có: $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{2} 4x^3 \mathrm{d}x$
$= 3 + x^4 \Big|_1^2 = 3 + (2^4 - 1^4) = 3 + (16 - 1) = 3 + 15 = 18$.

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Nếu $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{f(x)\mathrm{d}x}=3$ thì $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 2:

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{-3}^{1}(2x-5)\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\displaystyle\int\limits_{-3}^{1}(2x-5)\mathrm{d}x = (x^2 - 5x) \Big|_{-3}^{1} = (1^2 - 5(1)) - ((-3)^2 - 5(-3)) = (1-5) - (9+15) = -4 - 24 = -28$.

Câu 3:

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$.
Do đó, $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x-1| \mathrm{d}x$.
Ta xét:

Với $0 \le x < 1$, $|x-1| = 1-x$.
Với $1 \le x \le 2$, $|x-1| = x-1$.

Vậy:
$\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x-1| \mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{1} (1-x) \mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x-1) \mathrm{d}x$
$= (x - \dfrac{x^2}{2})\Big|_{0}^{1} + (\dfrac{x^2}{2} - x)\Big|_{1}^{2}$
$= (1 - \dfrac{1}{2}) - (0) + ((\dfrac{4}{2} - 2) - (\dfrac{1}{2} - 1))$
$= \dfrac{1}{2} + (0 - (-\dfrac{1}{2})) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + 1 = 2$.

Câu 4:

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\displaystyle\int (x+3)^2 dx = \int (x^2 + 6x + 9) dx = \dfrac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x + C$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_1^2 = \left(\dfrac{8}{3} + 12 + 18\right) - \left(\dfrac{1}{3} + 3 + 9\right) = \dfrac{7}{3} + 9 + 9 = \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{7+54}{3} = \dfrac{61}{3}$.

Câu 5:

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{1}{x+3}\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{1}{x+3}\mathrm{d}x = \ln|x+3|\Big|_0^2 = \ln|2+3| - \ln|0+3| = \ln 5 - \ln 3 = \ln \dfrac{5}{3}$

Câu 6:

Cho $\displaystyle\int\limits_{0}^{m}(3x^2-2x+1)\mathrm{d}x=6$ . Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Lời giải: