Đề thi thử Tốt nghiệp THPT năm 2026 môn Toán Sở GD&DT TP. Hồ Chí Minh - Đề 3
22 câu hỏi 60 phút
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2\sin x-x\)
\(f\left( 0 \right)=0;f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2-\frac{\pi }{2}\)
Đạo hàm của hàm số đã cho là \({f}'\left( x \right)=-2\cos x-1\)
Nghiệm của phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\frac{\pi }{3}\)
Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\)
a) \(f\left( 0 \right)=2\sin 0-0=0\) và \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2\sin \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}\). Đúng.
b) Đạo hàm của \(f\left( x \right)=2\sin x-x\) là \({f}'\left( x \right)=2\cos x-1\). Sai.
c) \({f}'\left( x \right)=2\cos x+1\) khi đó\({f}'\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\cos \frac{\pi }{3}-1=0\), suy ra \(x=\frac{\pi }{3}\) là nghiệm của phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\). Đúng.
d) \(f\left( x \right)=2\sin x-x\),
\({f}'\left( x \right)=2\sin x-1\) có nghiệm \(x=\frac{\pi }{3}\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\),
\(f\left( 0 \right)=0;f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2-\frac{\pi }{2}\approx 0,429,\)
\(f\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\sin \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\approx 0,684\).
Do đó, giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\). Đúng.
Danh sách câu hỏi:
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2\sin x-x\)
\(f\left( 0 \right)=0;f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2-\frac{\pi }{2}\)
Đạo hàm của hàm số đã cho là \({f}'\left( x \right)=-2\cos x-1\)
Nghiệm của phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\frac{\pi }{3}\)
Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\)
a) \(f\left( 0 \right)=2\sin 0-0=0\) và \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2\sin \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}\). Đúng.
b) Đạo hàm của \(f\left( x \right)=2\sin x-x\) là \({f}'\left( x \right)=2\cos x-1\). Sai.
c) \({f}'\left( x \right)=2\cos x+1\) khi đó\({f}'\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\cos \frac{\pi }{3}-1=0\), suy ra \(x=\frac{\pi }{3}\) là nghiệm của phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\). Đúng.
d) \(f\left( x \right)=2\sin x-x\),
\({f}'\left( x \right)=2\sin x-1\) có nghiệm \(x=\frac{\pi }{3}\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\),
\(f\left( 0 \right)=0;f\left( \frac{\pi }{2} \right)=2-\frac{\pi }{2}\approx 0,429,\)
\(f\left( \frac{\pi }{3} \right)=2\sin \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\approx 0,684\).
Do đó, giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\). Đúng.
Câu 2:
Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 5 m. Một ô tô \(A\) đang chạy với vận tốc \(16\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}/\text{s}\) thì gặp ô tô \(B\) đang dừng đèn đỏ nên ô tô \(A\) hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức \({{v}_{A}}\left( t \right)=16-4t\) (đơn vị tính bằng \(\text{m}/\text{s}\), thời gian \(t\) tính bằng giây)
Thời điểm xe ô tô \(A\) dừng lại là \(4s\)
Quãng đường \(S\left( t \right)\) (đơn vị: mét) mà ô tô \(A\) đi được trong thời gian \(t\) giây (\(0\le t\le 4\)) kể từ khi hãm phanh được tính theo công thức \(S\left( t \right)=\mathop{\int }_{0}^{4}v\left( t \right)dt\)
Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại xe ô tô \(A\) đi được quãng đường \(32m\)
Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô \(A\) và ô tô \(B\) là \(37m\)
a) Đúng vì khi ô tô \(A\) dừng lại thì \({{v}_{A}}\left( t \right)=0\Leftrightarrow 16-4t=0\Leftrightarrow t=4.\)
b) Sai vì quãng đường \(S\left( t \right)\) (đơn vị: mét) mà ô tô \(A\) đi được trong thời gian \(t\) giây (\(0\le t\le 4\)) được tính theo công thức \(S\left( t \right)=\mathop{\int }_{0}^{t}v\left( t \right)dt\).
c) Đúng vì quãng đường ô tô \(A\) đi được kể từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại là
\(s(t)=\int\limits_{0}^{4}{\left( 16-4t \right)dt}=32\,(m)\)
Như vậy, ô tô \(A\) di chuyển quãng đường 32 mét trước khi dừng lại hoàn toàn.
d) Đúng vì để đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 1 mét khi dừng lại, ô tô \(A\) phải bắt đầu hãm phanh khi cách ô tô \(B\) ít nhất là: \(32+5=37\,(m)\)
Câu 3:
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ, còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng
Xác suất để có tên Hiền là \(\frac{1}{10}\)
Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó là bạn nữ là \(\frac{3}{17}\)
Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó là bạn nam là \(\frac{2}{13}\)
Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \(\frac{3}{17}\)
a) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền là
Gọi A là biến cố “tên là Hiền”
Gọi B là biến cố “nữ”.
Xác suất để học sinh được gọi có tên là Hiền là: \(P\left( A \right)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\)
b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \(P\left( A|B \right)\).
Ta có:
\(P\left( B \right)=\frac{17}{30}\); \(P\left( A\cap B \right)=\frac{1}{30}\).
Do đó: \(P\left( A|B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P\left( B \right)}=\frac{\frac{1}{30}}{\frac{17}{30}}=\frac{1}{17}\).
c) Gọi C là biến cố “nam”.
Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam là \(P\left( A|C \right)\).
Ta có:
\(P\left( C \right)=\frac{13}{30}\); \(P\left( A\cap C \right)=\frac{2}{30}\).
Do đó: \(P\left( A|C \right)=\frac{P\left( A\cap C \right)}{P\left( C \right)}=\frac{\frac{2}{30}}{\frac{13}{30}}=\frac{2}{13}\).
d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \(P\left( B|A \right)\).
\(P\left( B|A \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P\left( A \right)}=\frac{\frac{1}{30}}{\frac{3}{30}}=\frac{1}{3}\).
Câu 4:
Một máy bay di chuyển từ sân bay A với tọa độ \(A(0;0;0)\) đến sân bay B tại tọa độ \(B(760;120;10)\) (đơn vị tính là km). Trên hành trình, máy bay sẽ đi qua vùng kiểm soát không lưu trung gian có bán kính 100 km, với tâm trạm kiểm soát đặt tại tọa độ \(O(380;60;0)\). Máy bay bay với vận tốc không đổi, hoàn thành quãng đường trong 1 giờ 25 phút (85 phút)
Phương trình tham số của đường bay từ A đến B được cho bởi: \(\left\{ \begin{align} & x=760t \\ & y=120t \\ & z=10t \\ \end{align} \right.\), \(t\in \left[ 0\,;\,1.42 \right]\) (Tham số t biểu diễn thời gian bay được tính theo giờ)
Máy bay đi vào phạm vi kiểm soát không lưu (bán kính 100 km, tâm tại O(380;60;0) tại thời điểm \(t=0.5\)
Quãng đường từ A đến B theo đường bay là 766 km
Nếu máy bay bay trong vùng kiểm soát trong 15 phút (0.25 giờ), nó sẽ bay đúng 1/6 quãng đường từ lúc vào đến khi ra khỏi vùng này
a) Đúng.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(0;0;0) và B(760;120;10). \(\left\{ \begin{align} & x=760t \\ & y=120t \\ & z=10t \\ \end{align} \right.\), \(t\in \left[ 0\,;\,1.42 \right]\)
b) Đúng.
Tại \(t=0.5\), tọa độ máy bay là \(\left\{ \begin{align} & x=760\times 0.5=380 \\ & y=120\times 0.5=60 \\ & z=10\times 0.5=5 \\ \end{align} \right.\)
Khoảng cách từ (380;60;5) đến O(380;60;0) là 5km.
Như vậy, máy bay đã vào vùng kiểm soát.
c) Đúng.
Quãng đường từ A đến B là khoảng cách giữa hai điểm AB xấp xỉ 769.5km.
Giá trị này gần đúng với 766 km thực tế.
d) Đúng.
Với thời gian trong vùng kiểm soát là 15 phút (0.25 giờ), quãng đường tương ứng là 1/6 toàn bộ hành trình (do tổng thời gian là 1.42 giờ). Vậy kết luận này là chính xác.
Ta có: \(\int{f}(x)dx=\int{\left( {{e}^{x}}+2 \right)}dx={{e}^{x}}+2x+C\).
