Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 8: Ứng dụng hình học của tích phân để tính thể tích vật thể

Câu 1:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục $Ox$ . Quay hình phẳng $D$ theo trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích $V$ được xác định bởi công thức

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$, và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.
Trong bài toán này, $a = 1$ và $b = 3$. Vậy công thức tính thể tích là $V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{3}[f(x)]^2\,\mathrm{d}x$.

Câu 2:

Cho hình phẳng $\left(H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\,,\,\,y=0,\,\,x=0,\,\,x=2$ . Quay hình phẳng $\left(H \right)$ quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành là: $V = \pi \int_{0}^{2} y^2 dx = \pi \int_{0}^{2} \dfrac{1}{x+1} dx$
Nguyên hàm của $\dfrac{1}{x+1}$ là $\ln |x+1|$.
Do đó, $V = \pi \ln |x+1| \Big|_0^2 = \pi (\ln 3 - \ln 1) = \pi \ln 3$.

Câu 3:

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{\tan x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x=0$ , $x=\dfrac{\pi}{4}$ quanh trục hoành là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức: $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$
Trong trường hợp này, $y = \sqrt{\tan x}$, $a = 0$, $b = \dfrac{\pi}{4}$
Vậy, $V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sqrt{\tan x})^2 dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$
Ta biết rằng $\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C$
Do đó, $V = \pi [- \ln |\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \pi [-\ln(\cos(\frac{\pi}{4})) - (-\ln(\cos(0)))]$
$= \pi [-\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \ln(1)] = \pi [-\ln(2^{-\frac{1}{2}}) + 0] = \pi [\frac{1}{2} \ln 2] = \dfrac{\pi \ln 2}{2}$

Câu 4:

Gọi $D$ là phần hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=-1\,;\,y=0;\,y={{x}^{3}}$ . Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền $D$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức: $V = \pi \int_{-1}^{0} (x^3)^2 dx = \pi \int_{-1}^{0} x^6 dx$ $V = \pi \left[ \dfrac{x^7}{7} \right]_{-1}^{0} = \pi \left( 0 - \dfrac{(-1)^7}{7} \right) = \pi \left( 0 - \dfrac{-1}{7} \right) = \dfrac{\pi}{7}$

Câu 5:

Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;b \right]$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quanh trục hoành được tính theo công thức:
$V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$

Câu 6:

Cho tam giác vuông $OAB$ có cạnh $OA=a$ nằm trên trục $Ox$ và $\widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{3}$ . Khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác $OAB$ quanh trục $Ox$ có thể tích là

Lời giải: