Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Chinh phục mọi bài toán trong kỳ thi THPT - Đề 6

10 câu hỏi 60 phút

Thẻ ghi nhớ

Luyện tập

Nhấn để lật thẻ

1 / 10

Tích phân $\displaystyle \int \limits_{0}^{1\,012} 2 .5^{2x} \mathrm{d}x$ bằng

\dfrac{5^{2\,024}-1}{\ln 5}

\dfrac{25^{2\,024}-1}{\ln 5}

\dfrac{25^{2\,024}-1}{\ln 25}

\dfrac{5^{1\,012}-1}{\ln 5}

Đáp án

Đáp án đúng: B

Ta có công thức tính tích phân $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$.\nDo đó,\n$\displaystyle \int \limits_{0}^{1012} 2 \cdot 5^{2x} dx = 2 \int \limits_{0}^{1012} 5^{2x} dx = 2 \left[ \frac{5^{2x}}{2 \ln 5} \right]_0^{1012} = \frac{5^{2x}}{\ln 5} \Big|_0^{1012} = \frac{5^{2 \cdot 1012} - 5^0}{\ln 5} = \frac{5^{2024} - 1}{\ln 5} = \frac{(5^2)^{1012} - 1}{\ln 5} = \frac{25^{1012} - 1}{\ln 5}$\n$\ln 25 = \ln 5^2 = 2 \ln 5$, vì vậy đáp án đúng là $\dfrac{25^{2024}-1}{\ln 25}$

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Tích phân $\displaystyle \int \limits_{0}^{1\,012} 2 .5^{2x} \mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 2:

Giá trị của tích phân $\displaystyle \int\limits_{0}^{2 \, 024} 2^x \mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có công thức tính tích phân $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$.

Áp dụng vào bài toán, ta có:
$\displaystyle \int\limits_{0}^{2024} 2^x dx = \left[ \dfrac{2^x}{\ln 2} \right]_0^{2024} = \dfrac{2^{2024}}{\ln 2} - \dfrac{2^0}{\ln 2} = \dfrac{2^{2024} - 1}{\ln 2}$.

Câu 3:

Tích phân $\displaystyle \int\limits_{\mathrm{e}}^{2024} (\mathrm{e}^x+2\,024)\mathrm{d}x$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\displaystyle \int (e^x + 2024) dx = e^x + 2024x + C$.
Do đó: $\displaystyle \int\limits_{e}^{2024} (e^x + 2024) dx = (e^{2024} + 2024 \cdot 2024) - (e^e + 2024e) = e^{2024} - e^e + 2024 \cdot 2024 - 2024e = e^{2024} - e^e + 2024(2024 - e) = e^{2024} - e^e + 2024e + 2024^2$.

Câu 4:

Nếu các số hữu tỉ $a, \, b$ thỏa mãn $\displaystyle \int\limits_0^1 (a\mathrm{e}^x + b) \mathrm{d}x = \mathrm{e} + 2$ thì giá trị của biểu thức $a+b$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\int_0^1 (ae^x + b) dx = ae^x \Big|_0^1 + bx \Big|_0^1 = a(e-1) + b = e + 2$.
Suy ra: $ae - a + b = e + 2$ hay $ae + (b-a) = e + 2$.
Đồng nhất hệ số, ta có: $a = 1$ và $b-a = 2$ nên $b = a+2 = 1+2 = 3$.
Vậy $a+b = 1+3 = 4$.

Câu 5:

Giá trị của $\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x = -\mathrm{e}^{-x} + C$.
Vậy $\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x = -\mathrm{e}^{-x} \Big|_0^1 = -\mathrm{e}^{-1} - (-\mathrm{e}^{-0}) = -\dfrac{1}{\mathrm{e}} + 1 = \dfrac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}$.