Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên miền xác định

20 câu hỏi 80 phút

Thẻ ghi nhớ

Luyện tập

Thi thử

Nhấn để lật thẻ

1 / 20

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{8}{x}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ là

Đáp án

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{8}{x}$ trên đoạn $[1;3]$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 2 - \dfrac{8}{x^2}$
Giải phương trình $y' = 0$: $2 - \dfrac{8}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$
Kiểm tra xem nghiệm nào thuộc khoảng đang xét $[1;3]$: $x = 2$ thuộc $[1;3]$
Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

$y(1) = 2(1) + \dfrac{8}{1} = 10$
$y(2) = 2(2) + \dfrac{8}{2} = 4 + 4 = 8$
$y(3) = 2(3) + \dfrac{8}{3} = 6 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{26}{3} = 8.67$ (khoảng)

So sánh các giá trị, giá trị lớn nhất là $10$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1;3]$ là $10$.

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{8}{x}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{8}{x}$ trên đoạn $[1;3]$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 2 - \dfrac{8}{x^2}$
Giải phương trình $y' = 0$: $2 - \dfrac{8}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$
Kiểm tra xem nghiệm nào thuộc khoảng đang xét $[1;3]$: $x = 2$ thuộc $[1;3]$
Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

$y(1) = 2(1) + \dfrac{8}{1} = 10$
$y(2) = 2(2) + \dfrac{8}{2} = 4 + 4 = 8$
$y(3) = 2(3) + \dfrac{8}{3} = 6 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{26}{3} = 8.67$ (khoảng)

So sánh các giá trị, giá trị lớn nhất là $10$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1;3]$ là $10$.

Câu 2:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}-1$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: undefined

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = x^4 - 6x^2 - 1$ trên đoạn $[-1;3]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: $f'(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2 - 3)$ 2. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: $f'(x) = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{3}$ 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và hai đầu mút của đoạn $[-1;3]$: - $x = -1$: $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 - 1 = 1 - 6 - 1 = -6$ - $x = 0$: $f(0) = 0^4 - 6(0)^2 - 1 = -1$ - $x = \sqrt{3}$: $f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6(\sqrt{3})^2 - 1 = 9 - 18 - 1 = -10$ - $x = 3$: $f(3) = (3)^4 - 6(3)^2 - 1 = 81 - 54 - 1 = 26$ 4. So sánh các giá trị và tìm giá trị nhỏ nhất: Trong các giá trị -6, -1, -10, và 26, giá trị nhỏ nhất là -10. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ là -10.

Câu 3:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)=x^3-3x^2-9x+10$ trên $\left[ -2;2 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: undefined

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$ trên đoạn $[-2; 2]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ 2. Giải phương trình $f'(x) = 0$: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$. Vậy $x = 3$ hoặc $x = -1$ 3. Kiểm tra xem các nghiệm có thuộc đoạn $[-2; 2]$ không. Ta thấy $x = 3$ không thuộc đoạn $[-2; 2]$, còn $x = -1$ thuộc đoạn này. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn và tại các nghiệm thuộc đoạn: * $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 10 = -8 - 12 + 18 + 10 = 8$ * $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) + 10 = 8 - 12 - 18 + 10 = -12$ * $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 10 = -1 - 3 + 9 + 10 = 15$ 5. So sánh các giá trị tính được, giá trị lớn nhất là $15$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$ là $15$.

Câu 4:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\dfrac{9}{x}$ trên đoạn $\left[ 2;4 \right]$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Xét hàm số $y = x + \dfrac{9}{x}$ trên đoạn $[2; 4]$.
Ta có $y' = 1 - \dfrac{9}{x^2}$.
$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.
Vì $x \in [2; 4]$ nên $x = 3$ là nghiệm duy nhất.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x = 2, x = 3, x = 4$:

$y(2) = 2 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{13}{2} = 6.5$
$y(3) = 3 + \dfrac{9}{3} = 3 + 3 = 6$
$y(4) = 4 + \dfrac{9}{4} = \dfrac{25}{4} = 6.25$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $6$.

Câu 5:

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x^2+\dfrac{2}{x}$ trên đoạn $\Big[ \dfrac{1}{2};2 \Big]$ bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: undefined

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + \frac{2}{x}$ trên đoạn $[rac{1}{2}, 2]$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm của hàm số: $y' = 2x - \frac{2}{x^2}$
Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định:
$2x - \frac{2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 2 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 1 \Leftrightarrow x = 1$.
$y'$ không xác định khi $x = 0$, nhưng điểm này không nằm trong đoạn đang xét.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn:
$y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} = 4.25$
$y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$
$y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5$
So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
Giá trị lớn nhất là $5$ (tại $x=2$) và giá trị nhỏ nhất là $3$ (tại $x=1$).
Tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là $5 + 3 = 8$.

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, có lẽ câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị này là 5.