Hàm số y=f(x)=3x2−2x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−∞;0)
B. (0;+∞)
C. (1;+∞)
D. (0;2)
Đáp án
Đáp án đúng: D
Xét hàm số $y = 3^{x^2-2x}$. Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $x^2 - 2x$ đồng biến. Xét hàm số $g(x) = x^2 - 2x$. $g'(x) = 2x - 2$. $g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số $y = 3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
Xét hàm số $y = 3^{x^2-2x}$. Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $x^2 - 2x$ đồng biến. Xét hàm số $g(x) = x^2 - 2x$. $g'(x) = 2x - 2$. $g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số $y = 3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
Để xét tính đồng biến của các hàm số, ta xét đạo hàm của chúng:
$y=\dfrac{x+1}{x+2} = 1 - \dfrac{1}{x+2}$ có $y' = \dfrac{1}{(x+2)^2} > 0$ với mọi $x \neq -2$. Tuy nhiên hàm số không xác định tại $x=-2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y=\tan x$ có $y' = 1 + \tan^2 x > 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Tuy nhiên, hàm số không xác định trên $\mathbb{R}$ (ví dụ tại $x = \dfrac{\pi}{2}$), do đó không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y=x^3+x^2+4x-2026$ có $y' = 3x^2 + 2x + 4$. Xét $\Delta' = 1 - 3(4) = -11 < 0$ nên $y' > 0$ với mọi $x$. Do đó, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.