Hàm số y=f(x)=3x2−2x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Đáp án
Xét hàm số $y = 3^{x^2-2x}$.
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $x^2 - 2x$ đồng biến.
Xét hàm số $g(x) = x^2 - 2x$.
$g'(x) = 2x - 2$.
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số $y = 3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
Xét hàm số $y = 3^{x^2-2x}$.
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $x^2 - 2x$ đồng biến.
Xét hàm số $g(x) = x^2 - 2x$.
$g'(x) = 2x - 2$.
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số $y = 3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$, ta thực hiện các bước sau:
* Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x - 9$
* Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$. Vậy $x = -1$ hoặc $x = 3$.
* Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng:
* $x < -1$: Ví dụ $x = -2$, $y' = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Hàm số đồng biến.
* $-1 < x < 3$: Ví dụ $x = 0$, $y' = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0$. Hàm số nghịch biến.
* $x > 3$: Ví dụ $x = 4$, $y' = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Hàm số đồng biến.
* Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(4; 5)$ nằm trong $(3; +\infty)$.
Để xét tính đồng biến của các hàm số, ta xét đạo hàm của chúng:
$y=\dfrac{x+1}{x+2} = 1 - \dfrac{1}{x+2}$ có $y' = \dfrac{1}{(x+2)^2} > 0$ với mọi $x \neq -2$. Tuy nhiên hàm số không xác định tại $x=-2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y=\tan x$ có $y' = 1 + \tan^2 x > 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Tuy nhiên, hàm số không xác định trên $\mathbb{R}$ (ví dụ tại $x = \dfrac{\pi}{2}$), do đó không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y=x^3+x^2+4x-2026$ có $y' = 3x^2 + 2x + 4$. Xét $\Delta' = 1 - 3(4) = -11 < 0$ nên $y' > 0$ với mọi $x$. Do đó, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.