Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y=sqrt(2x-x^2)-x

Câu 19:

Cho hàm số $y=x.\ln x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: $y = x \ln x$

$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = \ln x + x.\dfrac{1}{x} = \ln x + 1$

$y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e}$

Xét dấu $y'$:

Với $x \in (0; \dfrac{1}{e})$ thì $y' < 0$
Với $x \in (\dfrac{1}{e}; +\infty)$ thì $y' > 0$

Vậy hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$.

Câu 20:

Hàm số $y={\log_2}(x^2-3x+2)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số $y = \log_2(x^2 - 3x + 2)$ nghịch biến, ta cần:

* Điều kiện xác định: $x^2 - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2) > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 2$.
* Xét hàm số $u(x) = x^2 - 3x + 2$. Ta có $u'(x) = 2x - 3$.
* Hàm số $y = \log_2(u(x))$ nghịch biến khi $u'(x) < 0$ và $u(x) > 0$.
* $u'(x) = 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.
* Kết hợp điều kiện $x < 1$ hoặc $x > 2$ và $x < \frac{3}{2}$, ta được $x < 1$.
* Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.

Câu 1:

Hàm số $y=f(x)=3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xét hàm số $y = 3^{x^2-2x}$.
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $x^2 - 2x$ đồng biến.
Xét hàm số $g(x) = x^2 - 2x$.
$g'(x) = 2x - 2$.
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số $y = 3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

Câu 2:

Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{2x+1}$ . Mệnh đề sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:

$y = \dfrac{x-1}{2x+1}$
$y' = \dfrac{(x-1)'(2x+1) - (x-1)(2x+1)'}{(2x+1)^2} = \dfrac{1(2x+1) - (x-1)2}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x+1-2x+2}{(2x+1)^2} = \dfrac{3}{(2x+1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -\dfrac{1}{2}$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-\dfrac{1}{2})$ và $(-\dfrac{1}{2};+\infty)$.

Câu 3:

Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$, ta thực hiện các bước sau:

* Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x - 9$
* Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$. Vậy $x = -1$ hoặc $x = 3$.
* Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng:
* $x < -1$: Ví dụ $x = -2$, $y' = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Hàm số đồng biến.
* $-1 < x < 3$: Ví dụ $x = 0$, $y' = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0$. Hàm số nghịch biến.
* $x > 3$: Ví dụ $x = 4$, $y' = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Hàm số đồng biến.
* Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(4; 5)$ nằm trong $(3; +\infty)$.

Câu 4:

Trong các hàm số $y=\dfrac{x+1}{x+2}$ , $y=\tan x$ , $y=x^3+x^2+4x-2\,026$ , có bao nhiêu hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

Lời giải: