Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x \in A, P(x)$ là $\exists x \in A, \overline{P(x)}$. Trong trường hợp này, $P(x)$ là $x^2 + x + 1 > 0$, vậy $\overline{P(x)}$ là $x^2 + x + 1 \le 0$. Do đó, mệnh đề phủ định của $\forall x\in \mathbb{R},\text{ }{{x}^{2}}+x+1>0$ là $\exists x\in \mathbb{R},\text{ }{{x}^{2}}+x+1\le 0$.
$\mathbb{Z}\cup \mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ là đúng vì tập hợp số nguyên là tập con của tập hợp số hữu tỉ.
$\mathbb{N}\cup {{\mathbb{N}}^{*}}={{\mathbb{N}}^{*}}$ là đúng vì tập hợp số tự nhiên khác 0 là tập con của tập hợp số tự nhiên, và $\mathbb{N} \cup {\mathbb{N}}^{*} = {0} \cup {\mathbb{N}}^{*} \cup {\mathbb{N}}^{*} = {\mathbb{N}}^{*}$.
${\mathbb{N}}^{*}\cap \mathbb{R}={{\mathbb{N}}^{*}}$ là đúng vì tập hợp số tự nhiên khác 0 là tập con của tập hợp số thực, do đó giao của chúng bằng chính tập hợp số tự nhiên khác 0.
$\mathbb{Q}\cap \mathbb{R}=\mathbb{Q}$ là đúng vì tập hợp số hữu tỉ là tập con của tập hợp số thực, do đó giao của chúng bằng chính tập hợp số hữu tỉ.
Phần bù của tập $A$ trong $\mathbb{R}$, kí hiệu $C_{\mathbb{R}}A$, là tập hợp các phần tử thuộc $\mathbb{R}$ nhưng không thuộc $A$.
Ta có $A = [-3; 2)$. Khi đó, phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$ là $C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R} \setminus A = (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$. Tuy nhiên, do $A=[-3;2)$, nên phần bù của A phải là $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$. Trong các đáp án trên, ta cần tìm đáp án đúng nhất.
Vì $A=[-3;2)$, nên $C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R} \setminus A = (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$.
Đáp án A sai vì $( -3;2 ]$ không phải là phần bù của $A$.
Đáp án B sai vì khoảng phải là $(-\infty; -3)$ và $[2; +\infty)$.
Đáp án C sai vì thiếu $(-\infty; -3)$.
Đáp án D đúng vì $C_{\mathbb{R}}A = (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$. Do đó, đáp án đúng là $(-\infty; -3] \cup (2; +\infty)$.
Vậy đáp án đúng là $\left( -\infty ;-3 \right]\cup \left( 2;+\infty \right).$