Bộ Đề Kiểm Tra Học Kì I - Toán 10 - Cánh Diều - Đề 1
22 câu hỏi 60 phút
Cho hàm số \(y=2{{x}^{2}}-2x+1\)
Tập xác định: \(D=R\)
Bể lõm parabol hướng lên
Bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \({{y}_{\max }}=\frac{3}{2}\), khi đó \(x=\frac{1}{2}\)
\(y=2{{x}^{2}}-2x+3\) \(\left( a=2,b=-2,c=3 \right)\).
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
Đỉnh \(I\) của parabol có:
\({{x}_{I}}=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\); \({{y}_{I}}=2.{{(\frac{1}{2})}^{2}}-2.\left( \frac{1}{2} \right)+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) .
hay \(I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\).
Định hướng cho bảng biến thiên:
Do \(a=2>0\) nên bề lõm parabol hướng lên.
Bảng biến thiên:
Kết luận:
+ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)\).
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \({{y}_{\text{min}}}=\frac{3}{2}\), khi đó \(x=\frac{1}{2}\). (Hàm số không có giá trị lớn nhất).
Danh sách câu hỏi:
Câu 1:
Cho hàm số \(y=2{{x}^{2}}-2x+1\)
Tập xác định: \(D=R\)
Bể lõm parabol hướng lên
Bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \({{y}_{\max }}=\frac{3}{2}\), khi đó \(x=\frac{1}{2}\)
\(y=2{{x}^{2}}-2x+3\) \(\left( a=2,b=-2,c=3 \right)\).
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
Đỉnh \(I\) của parabol có:
\({{x}_{I}}=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\); \({{y}_{I}}=2.{{(\frac{1}{2})}^{2}}-2.\left( \frac{1}{2} \right)+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) .
hay \(I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\).
Định hướng cho bảng biến thiên:
Do \(a=2>0\) nên bề lõm parabol hướng lên.
Bảng biến thiên:
Kết luận:
+ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)\).
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \({{y}_{\text{min}}}=\frac{3}{2}\), khi đó \(x=\frac{1}{2}\). (Hàm số không có giá trị lớn nhất).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=\left( m-7 \right)x+2\) có đồ thị là \(\left( d \right)\), (\(m\) là tham số thực)
Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi \(m\ne 7\)
\(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(A\left( 0;2 \right)\) với mọi \(m\)
Khi \(m=6\) thì \(\left( d \right)\) tạo với hai trục tọa độ \(Ox,\,Oy\) một tam giác có diện tích bằng \(4\)
Chỉ có đúng \(6\) giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số đã cho là hàm số nghịch biến
+ Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow m-7\ne 0\Leftrightarrow m\ne 7\)
Suy ra câu a đúng.
+ Giả sử \(A\in \left( d \right)\Leftrightarrow 2=\left( m-7 \right).0+2\) (Luôn đúng với mọi \(m\))
Suy ra câu b đúng.
+ Khi \(m=6\Rightarrow \left( d \right):y=-x+2\)
Gọi \(A,\,B\) lần lượt là giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(Ox,\,Oy\)\(\Rightarrow A\left( 2;0 \right),\,B\left( 0;2 \right)\)
Nhận xét: \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) \(\Rightarrow {{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=2\).
Suy ra câu c sai.
+ Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến \(\Leftrightarrow m-7<0\Leftrightarrow m<7\)
Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}\).
Suy ra câu d đúng.
Câu 3:
Cho hàm số \(y=\frac{m-2}{m+1}x+2m-1\)
Với \(m>2\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Với \(m<1\), hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Có \(2\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Có \(4\) giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ -2;3 \right]\) bằng \(5\)
a, b) Ta có \(\left[ \begin{align} & m>2 \\ & m<-1 \\ \end{align} \right.\) thì \(\frac{m-2}{m+1}>0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vậy mệnh đề a đúng, mệnh đề b sai.
c) Với \(-1<m<2\) thì hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), có \(2\) giá trị nguyên của \(m\) là \(m=0\) hoặc \(m=1\) để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên mệnh đề c đúng.
d) + Với \(\frac{m-2}{m+1}>0\Leftrightarrow \left[\begin{align} & m>2 \\ & m<-1 \\ \end{align} \right.\) thì hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow \underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,y=y\left( 3 \right)=\frac{3\left( m-2 \right)}{m+1}+2m-1=5\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-1+\sqrt{7}\,\,\left( l \right) \\ & m=-1-\sqrt{7}\,\,\left( tm \right) \\ \end{align} \right.\)
+ Với \(\frac{m-2}{m+1}<0\Leftrightarrow -1<m<2\) thì hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow \underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,y=y\left( -2 \right)=-2\frac{m-2}{m+1}+2m-1=5\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}\,\,\left( tm \right)\).
Vậy có \(3\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu nên mệnh đề d sai.
Phương trình chuyển động của ô tô là
\(y=30,5+80\left( t-2 \right)=80t-129,5\).
Thời điểm \(t\) ô tô đuổi kịp xe máy tương ứng với giao điểm của hai đồ thị hàm số
\(y=2{{t}^{2}}+36t\) và \(y=80t-129,5\).
Xét phương trình
\(2{{t}^{2}}+36t=80t-129,5\)\(\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-44t+129,5=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{r}} t=3,5 \\ t=18,5. \\\end{array} \right.\).
Vậy ôtô đuổi kịp xe máy sớm nhất ứng với thời điểm \(t=3,5\) tại vị trí cách điểm \(B\) là:
\(150,5-30,5=120\) (km).
Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCOE\) với
\(A\left( 4;3 \right),\,B\left( 2;4 \right),\,C\left( 0;4 \right),\,E\left( 1;0 \right),\,O\left( 0;0 \right)\).
Nhận thấy biểu thức \(F=x-y\) chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,\,B,\,C,\,O\) hoặc \(E\).
Tại \(A\left( 4;3 \right)\) thì \(F=1.\)
Tại \(B\left( 2;4 \right)\) thì \(F=-2.\)
Tại \(C\left( 0;4 \right)\) thì \(F=-4.\)
Tại \(E\left( 1;0 \right)\) thì \(F=1.\)
Tại \(O\left( 0;0 \right)\). thì \(F=0.\)
Vậy \(\text{min}F=-4\) khi \(x=0,\) \(y=4.\)
Câu 15:
Đẳng thức nào sau đây sai?
Câu 18:
Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\) và \(M\) là trung điểm \(BC\)
\(\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{CB}=1\)
\(\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0\)
\(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{B{{C}^{2}}}{4}\)
\(M{{H}^{2}}+M{{A}^{2}}=A{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}\)