Câu hỏi:

Để $A \cap B \neq \emptyset$, tức là $A$ và $B$ có giao khác rỗng, thì phải có ít nhất một phần tử chung giữa hai tập hợp này.

Ta có $A = (-1; 5)$ và $B = (m; m+3]$.

Điều kiện để $A \cap B \neq \emptyset$ là: $m < 5$ và $m+3 > -1$.

Giải bất phương trình $m+3 > -1$, ta được $m > -4$.

Kết hợp hai điều kiện $m < 5$ và $m > -4$, ta có $-4 < m < 5$.

Tuy nhiên, do $B = (m; m+3]$ là nửa khoảng, ta cần xét kỹ hơn. Để có giao khác rỗng, cận dưới của B phải nhỏ hơn cận trên của A và cận trên của B phải lớn hơn cận dưới của A. Tức là:

$m < 5$ và $m+3 > -1$ hay $m > -4$.

Vậy $-4 < m < 5$ không bao gồm trường hợp $m = -4$. Nếu $m = -4$, thì $B = (-4; -1]$, và $A \cap B = (-1; -1] = \emptyset$ (sai)

Nếu $m = 5$ thì $B = (5; 8]$, $A \cap B = \emptyset$.

Xét các đáp án:

$A = (-1,5)$, $B = (m, m+3]$

Để $A \cap B \neq \emptyset$ thì $m < 5$ và $m+3 > -1$ suy ra $m > -4$

Do đó $-4 < m < 5$.

Nếu $m = -4$, thì $B = (-4, -1]$, do đó $A \cap B = (-1, -1] = \emptyset$

Nếu $m = 5$, thì $B = (5, 8]$, do đó $A \cap B = \emptyset$

Ta cần xét $m$ có thể bằng $-4$ không. Nếu $m=-4$, $B = (-4, -1]$, $A \cap B = (-1, -1] = \emptyset$. Như vậy $m > -4$

Khi $m$ tiến tới $-4$ từ bên phải thì $-1$ tiến tới $-1+3 = 2$ vẫn nhỏ hơn $5$ do đó vẫn có giao

Đáp án đúng là $-4 \leq m < 5$

Để $A \cap B \neq \emptyset$, tức là hai tập hợp $A$ và $B$ có giao khác rỗng, cần có ít nhất một phần tử chung giữa hai tập hợp này.
Ta có $A = (-\infty; 1]$ và $B = (m; +\infty)$. Để có giao khác rỗng, $m$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Vì vậy, điều kiện là $m \le 1$.

Gọi $A$ là tập hợp các học sinh đăng ký bóng đá, và $B$ là tập hợp các học sinh đăng ký bóng chuyền.

Ta có: $|A| = 35$, $|B| = 15$, và $|A \cup B| = 45$.

Số học sinh đăng ký cả hai môn là $|A \cap B|$.

Theo công thức $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, ta có:

$45 = 35 + 15 - |A \cap B|$

$45 = 50 - |A \cap B|$

$|A \cap B| = 50 - 45 = 5$

Vậy có 5 em đăng ký cả hai môn.