Đề thi thử Tốt nghiệp THPT năm 2025 môn Toán Sở GD&DT Hà Nội - Đề 2
22 câu hỏi 90 phút
Hàm số \(F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{e}^{x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nào sau đây?
\(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{3}+{{e}^{x}}\)
\(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+{{e}^{x}}\)
\(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{12}+{{e}^{x}}\)
\(f\left( x \right)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}\)
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) \(\Leftrightarrow \)\(F'\left( x \right)=f\left( x \right)\)
Suy ra hàm số cần tìm là \(f\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{e}^{x}} \right)}^\prime}\)\(={{x}^{2}}+{{e}^{x}}\)
Từ bảng biến thiên, hàm số có giá trị cực đại là: \({{y}_{CD}}=5\).
Danh sách câu hỏi:
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) \(\Leftrightarrow \)\(F'\left( x \right)=f\left( x \right)\)
Suy ra hàm số cần tìm là \(f\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{e}^{x}} \right)}^\prime}\)\(={{x}^{2}}+{{e}^{x}}\)
Từ bảng biến thiên, hàm số có giá trị cực đại là: \({{y}_{CD}}=5\).
\(S=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{2}^{x}} \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2}{{{2}^{x}}\text{d}x}\)
Dựa vào bảng số liệu.
Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \({{\vec{n}}_{2}}=\left( 2;3;1 \right)\)
Ta có x = 0 là TCĐ vì \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,=-\infty \).
\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=3\Rightarrow y=3\) là TCN của đồ thị hàm số.
\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\Rightarrow y=1\) là TCN của đồ thị hàm số.
Vậy hàm số có 3 tiệm cận.
Câu 13:
Một sợi dây kim loại dài \(60cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh \(a\), đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính \(r\)
\(\,r=\frac{60-2a}{\pi }.\)
Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là:
\(\frac{1}{\pi }\left[ \left( \pi +4 \right){{a}^{2}}-120a+900 \right]\)
Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số \(\frac{a}{r}\) bằng \(\frac{1}{2}.\)
Nếu cắt sợi dây thành hai đoạn bằng nhau và vẫn uốn thành một hình vuông và một hình tròn thì hình tròn có diện tích lớn hơn hình vuông
Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(M\left( 1;-3;4 \right)\), đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2}\) và mặt phẳng \((P):x+2y-2z+2=0\)
Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=2-3t \\ & z=2+4t \\ \end{align} \right.\)
Đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình: \({d}':\frac{x}{14}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{8}.\)
Câu 15:
Có hai đội thi đấu môn Bóng bàn. Đội \(I\) có 6 vận động viên, đội \(II\) có 8 vận động viên. Xác suất đạt huy chương đồng của mỗi vận động viên đội \(I\) và đội \(II\) tương ứng là \(0,8\) và \(0,65\) Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.
Xác suất để vận động viên này thuộc đội \(I\) là \(0,8\)
Xác suất để vận động viên được chọn đạt huy chương đồng là \(\frac{5}{7}\)
Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương đồng. Xác suất để vận động viên đó thuộc đội II là \(0,48\)
Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương đồng. Xác suất để vận động viên đó thuộc đội I là là \(\frac{12}{25}\)
Câu 16:
Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc
\(a\left( t \right)=-\frac{1}{24}{{t}^{3}}+\frac{5}{16}{{t}^{2}}\left( m/{{s}^{2}} \right)\),
trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát.
Phương trình vận tốc của vận động viên điền kinh là:
\(v\left( t \right)=-\frac{1}{96}{{t}^{4}}+\frac{5}{48}{{t}^{3}}\left( m/s \right)\)
Phương trình quãng đường của vận động viên điền kinh là:
\(S\left( t \right)=-\frac{1}{480}{{t}^{5}}+\frac{5}{192}{{t}^{4}}\left( m \right)\)
Quãng đường vận động viên chạy được trong 5 giây đầu tiên là \(9,57\left( m \right)\)
Quãng đường vận động viên chạy được cho đến lúc dừng chuyển động là \(52,08\left( m \right)\)
