Cho sina=31. Giá trị của biểu thức A=tana+2cotacota−tana bằng
A. 177
B. 8117
C. 91
D. 97
Đáp án
Đáp án đúng: B
Ta có $\sin a = \dfrac{1}{3}$.
$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ suy ra $\cos^2 a = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$.
Do đó, $\cos a = \pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Trường hợp 1: $\cos a = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó, $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = 2\sqrt{2}$.
Trường hợp 2: $\cos a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó, $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = -2\sqrt{2}$.
$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ suy ra $\cos^2 a = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$.
Do đó, $\cos a = \pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Trường hợp 1: $\cos a = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó, $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = 2\sqrt{2}$.
Trường hợp 2: $\cos a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó, $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot a = \dfrac{1}{\tan a} = -2\sqrt{2}$.
Để đổi từ radian sang độ, ta sử dụng công thức: $ \text{độ} = \text{radian} \times \dfrac{180^{\circ}}{\pi} $. Trong trường hợp này, ta có: $\dfrac{\pi}{12} \times \dfrac{180^{\circ}}{\pi} = \dfrac{180^{\circ}}{12} = 15^{\circ}$
Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right)$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Xét các đáp án:
Đáp án A: $\left(\pi ;2\pi \right)$ nằm trong khoảng hàm số nghịch biến.
Đáp án B: $\Big(\dfrac{\pi }{2};\pi \Big)$ nằm trong khoảng hàm số nghịch biến.
Đáp án C: $\Big(\dfrac{3\pi }{2};2\pi \Big)$ nằm trong khoảng hàm số đồng biến. Tuy nhiên, nếu $k=1$ thì $(-\pi/2 + 2\pi, \pi/2 + 2\pi) = (3\pi/2, 5\pi/2)$. Khoảng $(3\pi/2, 2\pi)$ không nằm hoàn toàn trong khoảng này.
Đáp án D: $\Big(\dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \Big)$ không nằm trong khoảng đồng biến nào.
Vậy, ta cần xem xét kỹ hơn đáp án nào đúng.
Ta có: $y' = \cos x$.
Hàm số đồng biến khi $y' > 0$, tức là $\cos x > 0$.
$\cos x > 0$ khi $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right)$.
Kiểm tra lại các đáp án:
A: Sai vì $\cos x < 0$ trên $(\pi, 2\pi)$.
B: Đúng vì $\cos x > 0$ trên $(0, \pi/2)$ và $\cos x < 0$ trên $(\pi/2, \pi)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
C: Sai vì $\cos x > 0$ trên $(3\pi/2, 2\pi)$ nhưng không hoàn toàn đồng biến.
D: Sai vì $\cos x < 0$ trên $(\pi/2, 3\pi/2)$.
Khoảng $\Big(\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \Big)$ là khoảng đồng biến của hàm số $y = \sin x$.
Tuy nhiên trong các đáp án không có khoảng này.
Đáp án chính xác nhất là đáp án B. Vì hàm số đồng biến trên $(0, \pi/2)$ và nghịch biến trên $(\pi/2, \pi)$.