Bộ Đề Kiểm Tra Giữa Học Kì I - Toán 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống - Đề 1
22 câu hỏi 60 phút
Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x=1,5\text{cos}\left( \frac{t\pi }{4} \right)\); trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng giây và quãng đường \(h=\left| x \right|\) được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng.
Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h=1,5\) m
Trong \(10\) giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất
Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(\text{cos}\left( \frac{t\pi }{4} \right)=0\)
Trong khoảng từ \(0\) đến \(20\) giây thì vật đi qua vị trí cân bằng \(4\) lần
Ta có \(h=\left| x \right|=\left| 1,5\text{cos}\left( \frac{t\pi }{4} \right) \right|\le 1,5\).
+ Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h=1,5\) m.
Khi đó \(\cos \left(\frac{\mathrm{t} \pi}{4}\right)= \pm 1 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \frac { \mathrm { t } \pi } { 4 } = \mathrm { k } 2 \pi } \\ { \frac { \mathrm { t } \pi } { 4 } = \pi + \mathrm { k } 2 \pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \mathrm{t}=8 \mathrm{k} \\ \mathrm{t}=4+8 \mathrm{k} \end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right.\right.\)
+ Vậy trong \(10\) giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \(t=0,\,t=4,\,t=8\) (giây).
+ Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x=0\)
\(1,5 \cos \left(\frac{\mathrm{t} \pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\mathrm{t} \pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow ; \frac{\mathrm{t} \pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi,(\mathrm{k} \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \mathrm{t}=2+4 \mathrm{k},(\mathrm{k} \in \mathbb{Z}) \)
+ Vậy trong khoảng từ \(0\) đến \(20\) giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \(t=2,\,t=6,\,t=10,\,t=14,\,t=18\) (giây); tức là có \(5\) lần vật qua vị trí cân bằng.
Danh sách câu hỏi:
Câu 1:
Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x=1,5\text{cos}\left( \frac{t\pi }{4} \right)\); trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng giây và quãng đường \(h=\left| x \right|\) được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng.
Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h=1,5\) m
Trong \(10\) giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất
Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(\text{cos}\left( \frac{t\pi }{4} \right)=0\)
Trong khoảng từ \(0\) đến \(20\) giây thì vật đi qua vị trí cân bằng \(4\) lần
Ta có \(h=\left| x \right|=\left| 1,5\text{cos}\left( \frac{t\pi }{4} \right) \right|\le 1,5\).
+ Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h=1,5\) m.
Khi đó \(\cos \left(\frac{\mathrm{t} \pi}{4}\right)= \pm 1 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \frac { \mathrm { t } \pi } { 4 } = \mathrm { k } 2 \pi } \\ { \frac { \mathrm { t } \pi } { 4 } = \pi + \mathrm { k } 2 \pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \mathrm{t}=8 \mathrm{k} \\ \mathrm{t}=4+8 \mathrm{k} \end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right.\right.\)
+ Vậy trong \(10\) giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \(t=0,\,t=4,\,t=8\) (giây).
+ Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x=0\)
\(1,5 \cos \left(\frac{\mathrm{t} \pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\mathrm{t} \pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow ; \frac{\mathrm{t} \pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi,(\mathrm{k} \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \mathrm{t}=2+4 \mathrm{k},(\mathrm{k} \in \mathbb{Z}) \)
+ Vậy trong khoảng từ \(0\) đến \(20\) giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \(t=2,\,t=6,\,t=10,\,t=14,\,t=18\) (giây); tức là có \(5\) lần vật qua vị trí cân bằng.
Câu 2:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên trong một công ty như sau:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text { Lương (triệu đồng) } & {[9 ; 12)} & {[12 ; 15)} & {[15 ; 18)} & {[18 ; 21)} & {[21 ; 24)} \\ \hline \text { Số nhân viên } & 6 & 12 & 4 & 2 & 1 \end{array}\]
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ 9;12 \right)\) là \(10,5\)
Trung bình lương các nhân viên là \(16,5\) triệu đồng
Nhóm chứa trung vị là \(\left[ 15;18 \right)\)
Tứ phân vị thứ ba là \(15,56\)
a) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ 9;12 \right)\) là \(\frac{9+12}{2}=10,5\).
b) Trung bình lương các nhân viên là:
\(\bar{x}=\frac{1}{25}\left( 6\cdot 10,5+12\cdot 13,5+4\cdot 16,5+2\cdot 19,5+22,5 \right)=14,1\) triệu đồng.
c) Công ty có \(25\) nhân sự.
Vì \({{x}_{13}}\in \left[ 12;15 \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.
d) Vì \({{x}_{19}}\in \left[ 15;18 \right)\) nên ta có \({{Q}_{3}}=15+\frac{\frac{3\cdot 25}{4}-18}{4}\cdot 3\approx 15,56\).
Câu 3:
Để tích lũy cho việc học đại học của cậu con trai đầu lòng, cô Lan quyết định hằng tháng bỏ ra \(600\) nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi \(0,5\%\) cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi cậu con trai tròn ba tuổi và gửi tiền vào đầu mỗi tháng
Đến lần gửi khoản tiền thứ \(180\) thì cậu con trai tròn \(18\) tuổi
Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ \(2\) là \(0,6\left( 1+0,5\% \right)\) triệu đồng
Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ \(5\) là 3 030 000 đồng
Số tiền của cô Lan có trong chương trình vào thời điểm cậu con trai đầu lòng tròn \(18\) tuổi nhỏ hơn \(160\) triệu đồng
Gọi \({{u}_{n}}\) là số triệu đồng mà cô Lan có trong chương trình tích lũy ở lần gửi thứ \(n\).
Kí hiệu \(a=0,6\) triệu đồng, \(r=0,5\%\).
Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ nhất là: \({{u}_{1}}=a\).
Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ 2 là: \({{u}_{2}}=a\left( 1+r \right)+a=0,6\left( 1+0,5\% \right)+0,6\).
Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ 3 là: \({{u}_{3}}=a{{\left( 1+r \right)}^{2}}+a\left( 1+r \right)+a\).
Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ \(n\) là:
\(\begin{align} {{u}_{n}}=a{{\left( 1+r \right)}^{n-1}}+a{{\left( 1+r \right)}^{n-2}}+...+a\left( 1+r \right)+a = a.\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{\left( 1+r \right)-1}=a.\frac{{{\left( 1+r \right)}^{n}}-1}{r} \end{align}\)
Số tiền của cô Lan có trong chương trình ở đầu tháng thứ \(5\) là: \({{u}_{5}}=a.\frac{{{\left( 1+r \right)}^{5}}-1}=0,6.\frac{{{\left( 1+0,5\% \right)}^{5}}-1}{0,5\% }\approx 3,03\) triệu đồng \(=3\,030\,000\) đồng.
Vào thời điểm cậu con trai đầu lòng tròn \(18\) tuổi là thời điểm gửi khoản tiền thứ \(180\).
Lúc đó cô sẽ tích lũy được
\({{u}_{180}}=a.\frac{{{\left( 1+r \right)}^{180}}-1}{r}=0,6.\frac{{{\left( 1+0,5\% \right)}^{180}}-1}{0,5\%}\approx 174,49\)(triệu đồng).
Sau tháng thứ \(1\) người lao động có: \(4\left( 1+0,6 \%) \right)\) triệu đồng.
Sau tháng thứ \(2\) người lao động có:
\(\left( 4\left( 1+0,6 \%) \right)+4 \right)\left( 1+0,6 \%) \right)=4\left[ {{\left( 1+0,6 \%) \right)}^{2}}+\left( 1+0,6 \%) \right) \right]\) triệu đồng.
\(...\)
Sau tháng thứ \(300\) người lao động có:
\(4\left[(1+0,6 \%)^{300}+(1+0,6 \%)^{299}+\ldots+(1+0,6 \%)\right]\)\(=4(1+0,6 \%) \frac{(1+0,6 \%)^{300}-1}{(1+0,6 \%)-1} \approx 3\,364\,866\,000\) đồng.
Câu 5:
Xét hàm số \(y=\text{sin}x\) trên đoạn \(\left[ -\pi ;\,0 \right].\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số \(y=\text{sin}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\pi ;\,-\frac{\pi }{2} \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right)\).
Câu 11:
Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát \({{u}_{n}}\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Câu 17:
Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) biết \({{u}_{n}}={{n}^{2}}+2n,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\)
Số hạng đầu tiên của dãy số là \({{u}_{1}}=3\)
Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là một dãy số giảm
Số \(143\) là số hạng thứ \(13\) trong dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\)
\(\forall n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) thì \(\frac{1}{{{u}_{1}}}+\frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}+...+\frac{1}{{{u}_{n}}}=\frac{3{{n}^{2}}+5n}{2\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}\)
