Bộ Đề Kiểm Tra Giữa Học Kì I - Toán 11 - Cánh Diều - Đề 1
22 câu hỏi 60 phút
Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là một hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\)
\(SO\) là giao tuyến của \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBD \right)\)
Giao điểm \(J\) của \(SA\) với \(\left( CKB \right)\) thuộc đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \(DC\)
Giao tuyến của \(\left( OIA \right)\) và \(\left( SCD \right)\) là đường thẳng đi qua \(C\) và song song với \(SD\)
\(CD//IJ\)
a) \(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{O} \in \mathrm{AC} \subset(\mathrm{SAC}) \\ \mathrm{O} \in \mathrm{BD} \subset(\mathrm{SBD}) \end{array}\right.\).
\(\Rightarrow \mathrm{O} \in(\mathrm{SAB}) \cap(\mathrm{SCD})\).
\(\Rightarrow \mathrm{SO}=(\mathrm{SAC}) \cap(\mathrm{SBD}) \).
b) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} AD//CB \\ AD\subset (SAD) \\ BC\subset (SBC) \\ K\in (KBC)\cap (SAD) \\ \end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} Kx=(KBC)\cap (SAD) \\ Kx//AD//BC \\ \end{array} \right. \right.\).
Trong \(\left( SAD \right)\) gọi \(J=Kx\cap SA\), có \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} J\in SA \\ J\in Kx\subset (BKC) \\ \end{array}\Rightarrow J=SA\cap (BKC) \right.\)
c) Có \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\Rightarrow OI//SD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} OI//SD \\ OI\subset (OIA) \\ SD\subset (SCD) \\ C\in (OIA)\cap (SCD) \\ \end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} Cy=(OIA)\cap (SCD) \\ Cy//SD//OI \\ \end{array} \right. \right.\).
d) Ta có: \(IJ//AB\) (\(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
\(AB//CD\) (tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành)
\(\Rightarrow CD//IJ\).
Danh sách câu hỏi:
Câu 1:
Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là một hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\)
\(SO\) là giao tuyến của \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBD \right)\)
Giao điểm \(J\) của \(SA\) với \(\left( CKB \right)\) thuộc đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \(DC\)
Giao tuyến của \(\left( OIA \right)\) và \(\left( SCD \right)\) là đường thẳng đi qua \(C\) và song song với \(SD\)
\(CD//IJ\)
a) \(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{O} \in \mathrm{AC} \subset(\mathrm{SAC}) \\ \mathrm{O} \in \mathrm{BD} \subset(\mathrm{SBD}) \end{array}\right.\).
\(\Rightarrow \mathrm{O} \in(\mathrm{SAB}) \cap(\mathrm{SCD})\).
\(\Rightarrow \mathrm{SO}=(\mathrm{SAC}) \cap(\mathrm{SBD}) \).
b) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} AD//CB \\ AD\subset (SAD) \\ BC\subset (SBC) \\ K\in (KBC)\cap (SAD) \\ \end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} Kx=(KBC)\cap (SAD) \\ Kx//AD//BC \\ \end{array} \right. \right.\).
Trong \(\left( SAD \right)\) gọi \(J=Kx\cap SA\), có \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} J\in SA \\ J\in Kx\subset (BKC) \\ \end{array}\Rightarrow J=SA\cap (BKC) \right.\)
c) Có \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\Rightarrow OI//SD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} OI//SD \\ OI\subset (OIA) \\ SD\subset (SCD) \\ C\in (OIA)\cap (SCD) \\ \end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} Cy=(OIA)\cap (SCD) \\ Cy//SD//OI \\ \end{array} \right. \right.\).
d) Ta có: \(IJ//AB\) (\(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
\(AB//CD\) (tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành)
\(\Rightarrow CD//IJ\).
Câu 2:
Người ta trồng \(3\,240\) cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng \(1\) cây, hàng thứ hai trồng \(2\) cây, hàng thứ ba trồng \(3\) cây, …
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu là \({{u}_{1}}=1\)
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có công sai là \(d=2\)
Có tất cả \(80\) hàng cây
Hàng thứ \(20\) trồng được \(40\) cây.
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1,\,d=1\).
Giả sử có \(n\) hàng cây thì \({{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=3\,240={{S}_{n}}\).
Ta có \(3\,240={{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}d\)
\(\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-6\,480=0\Leftrightarrow n=80\).
Số cây hàng thứ \(20\) trồng được là \({{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=20\).
Gọi \(S\) là diện tích mặt đáy. Khi đó: \({{T}_{1}}=\frac{1}{2}S\);
\({{T}_{1}}=\frac{1}{2}.S;{{T}_{2}}=\frac{1}{2}.{{T}_{1}}=\frac{1}{{{2}^{2}}}.S\)
...
\({{T}_{10}}=\frac{1}{{{2}^{10}}}.S=\frac{1}{{{2}^{10}}}.12\,288=12\).
Vậy diện tích bề mặt trên cùng của tháp bằng \(12\) m\({{}^{2}}\).
Tập giá trị của hàm số \(y=\text{sin}2x\) là \(T=\left[ -1;1 \right]\).
\(\left\{ \begin{align} M\in AB \\ N\in AC \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow MN\subset \left( ABC \right)\)
Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)\(\Rightarrow MN//BC\)
Hiển nhiên \(D\in \left( DBC \right)\cap \left( DMN \right)\)
\(\left\{ \begin{align} BC\subset \left( DBC \right) \\ MN\subset \left( DMN \right) \\ BC//MN \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left( DBC \right)\cap \left( DMN \right)=Dx\) và \(Dx//BC//MN\).
Câu 16:
Cho phương trình lượng giác \(3-\sqrt{3}\text{tan}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\)
Phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z}\)
Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \(-\frac{\pi }{3}\)
Khi \(\frac{-\pi }{4}<x<\frac{2\pi }{3}\) thì phương trình có ba nghiệm
Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( \frac{-\pi }{4};\frac{2\pi }{3} \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\)