Hàm số khả nghịch khi và chỉ khi nó là song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh).
1. \(f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1\): Hàm này không đơn ánh vì ví dụ \(f(1) = f(3) = 2\). Do đó, nó không khả nghịch.
2. \(f(x) = x^4\): Hàm này cũng không đơn ánh vì \(f(1) = f(-1) = 1\). Do đó, nó không khả nghịch.
3. \(f(x) = x^3\): Hàm này là đơn ánh và toàn ánh trên R. Với mọi y thuộc R, tồn tại x = \(\sqrt[3]{y}\) sao cho \(f(x) = y\). Vậy hàm này khả nghịch.
4. \(f(x) = 6 - x^2\): Hàm này không đơn ánh vì ví dụ \(f(1) = f(-1) = 5\). Do đó, nó không khả nghịch.
Vậy, chỉ có hàm \(f(x) = x^3\) là khả nghịch.
Hàm số khả nghịch khi và chỉ khi nó là song ánh (vừa đơn ánh vừa toàn ánh).
1. \(f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1\): Hàm này không đơn ánh vì ví dụ \(f(1) = f(3) = 2\). Do đó, nó không khả nghịch.
2. \(f(x) = x^4\): Hàm này cũng không đơn ánh vì \(f(1) = f(-1) = 1\). Do đó, nó không khả nghịch.
3. \(f(x) = x^3\): Hàm này là đơn ánh và toàn ánh trên R. Với mọi y thuộc R, tồn tại x = \(\sqrt[3]{y}\) sao cho \(f(x) = y\). Vậy hàm này khả nghịch.
4. \(f(x) = 6 - x^2\): Hàm này không đơn ánh vì ví dụ \(f(1) = f(-1) = 5\). Do đó, nó không khả nghịch.
Vậy, chỉ có hàm \(f(x) = x^3\) là khả nghịch.
Ta có: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 8, 1, 7, 9}
\(A{\rm{ }}-{\rm{ }}B\) là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Vậy \(A{\rm{ }}-{\rm{ }}B{\rm{ }} = {\rm{ }}\{4,5,6\}\)\(B{\rm{ }}-{\rm{ }}A\) là tập hợp các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A. Vậy \(B{\rm{ }}-{\rm{ }}A{\rm{ }} = {\rm{ }}\{8,9\}\)\(\left( {A{\rm{ }}-{\rm{ }}B} \right){\rm{ }} \cup {\rm{ }}\left( {B{\rm{ }} - {\rm{ }}A} \right)\) là hợp của hai tập \(A{\rm{ }}-{\rm{ }}B\) và \(B{\rm{ }}-{\rm{ }}A\). Vậy \(\left( {A{\rm{ }}-{\rm{ }}B} \right){\rm{ }} \cup {\rm{ }}\left( {B{\rm{ }} - {\rm{ }}A} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\{4,5,6,8,9\}\)
Đây là một bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Nguyên lý này nói rằng nếu có n chuồng và m > n con bồ câu, thì ít nhất một chuồng phải chứa nhiều hơn một con bồ câu.
Trong bài toán này, các bậc điểm (5 bậc) đóng vai trò là "chuồng", và các sinh viên là "bồ câu". Ta muốn tìm số lượng sinh viên tối thiểu (m) sao cho có ít nhất 6 sinh viên đạt cùng một điểm (tức là có ít nhất một "chuồng" chứa ít nhất 6 "bồ câu").
Để tìm m, ta giả sử trường hợp xấu nhất, tức là số lượng sinh viên được phân bố đều vào các bậc điểm. Vậy mỗi bậc điểm có 5 sinh viên. Để có ít nhất 6 sinh viên cùng một bậc điểm, ta cần thêm ít nhất 1 sinh viên nữa.
Vậy, số lượng sinh viên tối thiểu cần thiết là: 5 (bậc điểm) * 5 (sinh viên/bậc) + 1 = 26 sinh viên.
Phân hoạch của một tập S là một tập hợp các tập con không giao nhau của S mà hợp của chúng bằng S. Điều này có nghĩa là:
* Các tập con trong phân hoạch phải đôi một không giao nhau. Tức là, giao của hai tập con bất kỳ trong phân hoạch phải là tập rỗng. Trong trường hợp này, A và B là hai tập con của S, nên A ∩ B = ∅.
* Hợp của tất cả các tập con trong phân hoạch phải bằng tập S. Trong trường hợp này, A ∪ B = S.
* A - B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Vì A và B không giao nhau, nên A - B = A.
* A x B là tích Descartes của A và B, là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b) trong đó a thuộc A và b thuộc B. Điều này không nhất thiết bằng S. Ví dụ, nếu S = {1, 2, 3}, A = {1, 2}, B = {3}, thì A x B = {(1, 3), (2, 3)}, khác với S.
Vậy, phương án sai là A x B = S.
Nhận xét sai là: "Một quan hệ có tính bắc cầu khi và chỉ khi đồ thị biểu diễn nó có cung đi từ đỉnh a đến đỉnh b thì cũng có cung đi từ đỉnh b đến đỉnh c".
Giải thích:
Tính bắc cầu (hay tính chất bắc cầu) của một quan hệ R trên tập A có nghĩa là: nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R thì (a, c) ∈ R. Nhận xét sai ở chỗ nó chỉ xét trường hợp có cung từ a đến b và từ b đến c, mà không đảm bảo có cung từ a đến c. Để quan hệ có tính bắc cầu, cần phải có cung từ a đến c nếu có cung từ a đến b và b đến c. Các đáp án còn lại đều đúng.
- Tính phản xạ: Quan hệ R trên A là phản xạ nếu (a, a) ∈ R với mọi a ∈ A. Ma trận biểu diễn quan hệ phản xạ có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1. Đồ thị biểu diễn có khuyên tại mỗi đỉnh.
- Tính đối xứng: Quan hệ R trên A là đối xứng nếu (a, b) ∈ R thì (b, a) ∈ R. Ma trận biểu diễn quan hệ đối xứng là ma trận đối xứng qua đường chéo chính.