Xét số phức z thỏa mãn \({\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|}=6\sqrt2\). Gọi (m,M ) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z - 1 + i| . Tính P = m + M
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi z=x+yi(x,y∈R)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi P(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z
Gọi A(−2;1),B(4;7) thì
\(\begin{array}{*{20}{l}} {AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|}\\ { = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB} \end{array}\)
Suy ra tập hợp các điểm P thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB
Có \( \left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC\) với C(1;−1)
Do đó PCmin khi P là hình chiếu của C lên AB và PCmax khi P≡B
Suy ra \( M = CB = \sqrt {73} \)
Ta có:
\( AB:\frac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \frac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0 \Rightarrow m = d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow M + m = \frac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\)
