Cho số phức z thỏa mãn Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau \(\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right|\), hãy tìm căn bậc hai của số phức z có môđun nhỏ nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Khi đó \(\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + yi} \right| = \left| {x + 3} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {y^2} = 4x + 8\)
Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + 4x + 8} = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 4} \ge 2\)
Dấu = xảy ra khi \(x = – 2 \Rightarrow y = 0\). Vậy số phức z = – 2.
Vậy căn bậc hai của số số phức z = – 2 là \( \pm i\sqrt 2 \)
