Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z-3 i|=5 \text { và } \frac{z}{z-4}\)là số thuần ảo
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=a+b i ;(a ; b \in \mathbb{R}) \text { . }\\ &\text { Tu già thiết, ta có }\\ &|z-3 i|=5 \Leftrightarrow|a+(b-3) i|=5 \Leftrightarrow a^{2}+(b-3)^{2}=25\,\,\,(1)\\ &\text { Lại có } \frac{z}{z-4}=\frac{a+b i}{(a-4)+b i} \text { điều kiện } z-4 \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 4 \text { . }\\ &=\frac{(a+b i)(a-4-b i)}{(a-4)^{2}+b^{2}}=\frac{a(a-4)+b^{2}}{(a-4)^{2}+b^{2}}+\frac{-4 b}{(a-4)^{2}+b^{2}} \cdot i \text { là số thuần ảo }\\ &\text { khi } a(a-4)+b^{2}=0 (2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: }\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}-6 b=16 \\ a^{2}+b^{2}-4 a=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a=4(l) \\ b=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} a=\frac{16}{13} \\ b=-\frac{24}{13} \end{array}\right. \end{array}\right.\right.\\ &\text { Vậy } z=\frac{16}{13}-\frac{24}{13} i \text { . } \end{aligned}\)
Vậy có 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình \(z^{2}-4 z+5=0\) trên tập số phức ta được các nghiệm
-
Số phức z thỏa \(z=\frac{(1-2 i)^{2}}{(3+i)(2+i)}\) là:
-
Cho số phức z thỏa mãn \(5 \bar z + 3 - i = ( - 2 + 5i )z \) Tính \( P = \left| {3i{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right|\)
-
Số phức z = (1−i)3 bằng
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tính mô đun của số phức z biết \((1+2 i) z^{2}=3+4 i\)
-
Tính : \( {\left( {3 - 4i} \right)^2}\)
-
Cho các số phức \(z_{1}=3+2 i, z_{2}=3-2 i\). Phương trình bậc hai có hai nghiệm \(z_1 \,và\, z_2\)à
-
Cho hai số phức \(z_{1}=5-7 i \text { và } z_{2}=2+3 i\) . Tìm số phức \(z=z_{1}+z_{2}\)
-
Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực và \(\left| {z + 1} \right| = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\). Khi đó mô đun của z là:
-
Số nào sau đây bằng số (2-i)(3+4i)?
-
Trong tập các số phức z1 , z2 lần lượt là 2 nghiệm của phương trình \(z^{2}+4 z+5=0\) . Tính \(P=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\)
-
Xét các số phức z thỏa mãn \(|z|=2\). Số phức \(\mathrm{w}=z+3 i\) có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt
là m và M . Tổng M+m bằng -
Cho hai số phức \(z_1 = 1- 2i ,z_2 = x - 4 + yi\) với \(x, y \in\mathbb{R}\) . Tìm cặp ( x; y ) để \(z_2 = 2\overline {z_1}\) .
-
Gọi S là tập hợp những điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−1−i| = 1. Cho P là một điểm chạy trên S. Khi đó số phức tương ứng với P có môđun lớn nhất bằng?
-
Giả sử \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(\left| {\left( {2 + {\rm{i}}} \right)\left| z \right|z – \left( {1 – 2{\rm{i}}} \right)z} \right| = \left| {1 + 3{\rm{i}}} \right|\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\). Tính \(M = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|\).
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right|\).
-
Có bao nhiêu số phức z có phần ảo nguyên thỏa mãn \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt 5 \) và \(\left( {z – i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)\) là số thực?
-
Cho hai số phức (z = a + bi,z' = a' + b'i ). Chọn công thức đúng:
-
Cho hai số phức z = i. Tìm số phức w = z5.
