Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm \(A,\;B,\;C\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = – 1 + i,\;{z_2} = 1 + 3i,\;{z_3}\). Biết tam giác ABC vuông cân tại A và \({z_3}\) có phần thực dương. Khi đó, tọa độ điểm C là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử \({z_3} = a + bi\) với \(a,b \in R,\;a\; > \;0\) suy ra \(C\left( {a\;;\;b} \right)\).
Ta có \(A\left( { – 1\;;\;1} \right),\;B\left( {1\;;\;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2\;;\;2} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( {a + 1\;;\;b – 1} \right)\).
Tam giác ABC vuông tại A nên
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right) + 2\left( {b – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = – a\quad \left( 1 \right)\).
Tam giác ABC cân tại A nên \(AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 8\quad (2)\).
Thế \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được:
\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( { – a – 1} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = – 3\end{array} \right.\).
Vì \(a\; > \;0\) nên \(a = 1 \Rightarrow b = – 1\).
Vậy điểm C có tọa độ là \(\left( {1\;;\; – 1} \right)\)
