Cho \(z=x+y i \text { thỏa mãn }|z-1+i|=|\bar{z}+1-2 i| \text { và } \mid z|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(5 x-10 y\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có }|z-1+i|=|\bar{z}+1-2 i| \Leftrightarrow|x+y i-1+i|=|x-y i+1-2 i| \\ \Leftrightarrow|x-1+y+1 i|=|x+1+-y-2 i| \\ \Leftrightarrow \sqrt{x-1^{2}+y+1^{2}}=\sqrt{x+1^{2}+-y-2^{2}} \\ \Leftrightarrow-2 x+2 y+2=2 x+4 y+5 \\ \Leftrightarrow 4 x+2 y+3=0 \end{array}\)
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng \(d: 4 x+2 y+3=0\)
\(\begin{array}{l} \text { Khi đó: }|z|=O M \Rightarrow|z|_{\min }=O M_{\min } \\ \Leftrightarrow M \equiv H \\ \text { Do } O H \perp d: 4 x+2 y+3=0 \Rightarrow O H: 2 x-4 y+m=0 . \\ O(0 ; 0) \in O H \Rightarrow m=0 \Rightarrow O H: x-2 y=0 \end{array}\)
Tọa độ \(H=d \cap O H \text { thỏa }\left\{\begin{array}{l} 4 x+2 y=-3 \\ x-2 y=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=-\frac{3}{5} \\ y=-\frac{3}{10} \end{array} \Rightarrow 5 x-10 y=0\right.\right.\)
