Cho \(\left|z^{2}-2 z+5\right|=|(z-1+2 i)(z+3 i-1)|\) . Giá trị nhỏ nhất của \(|z-2+2 i|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Giả sử } z=x+y i ;(x, y \in \mathbb{R})\\ &\text { Ta có: }\\ &\left|z^{2}-2 z+5\right|=|(z-1+2 i)(z+3 i-1)| \Leftrightarrow|z-1-2 i| \cdot|z-1+2 i|=|z-1+2 i| \cdot|z-1+3 i| \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {z = 1 - 2i}\\ {\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 1 + 3i} \right|} \end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \text { Với } z=1-2 i \text { thì }|z-2+2 i|=|-1|=1 \\ \text { Với }|z-1-2 i|=|z-1+3 i| \Leftrightarrow x-1^{2}+y-2^{2}=x-1^{2}+y+3^{2} \Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}\text{thì} \end{array}\)
\(|z-2+2 i|=\sqrt{x-2^{2}+y+2^{2}}=\sqrt{x-2^{2}+\frac{9}{4}} \geq \frac{3}{2} \text { . }\)So sánh hai trường hợp ta được \(|z-2+2 i|_{\min }=1 \text { đạt được khi } z=1-2 i\)
