Cho \(z=x+y i \text { thỏa mãn }|z+1-5 i|=|\bar{z}+3-i| \text { và } \mid z\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 3x+y ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có }|z+1-5 i|=|\bar{z}+3-i| \Leftrightarrow|x+y i+1-5 i|=|x-y i+3-i| \\ \Leftrightarrow|x+1+y-5 i|=|x+3+-y-1 i| \\ \quad \Leftrightarrow \sqrt{x+1^{2}+y-5^{2}}=\sqrt{x+3^{2}+-y-1^{2}} \\ \quad \Leftrightarrow 2 x-10 y+26=6 x+2 y+10 \\ \quad \Leftrightarrow x+3 y-4=0 \Leftrightarrow x=4-3 y \\ \text { Ta có }|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{4-3 y^{2}+y^{2}}=\sqrt{10 y^{2}-24 y+16}=\sqrt{10\left(y-\frac{6}{5}\right)^{2}+\frac{8}{5}} \geq \sqrt{\frac{8}{5}} \\ \text { Suy ra }|z|_{\min }=\sqrt{\frac{8}{5}} \Leftrightarrow y=\frac{6}{5} \Rightarrow x=\frac{2}{5} \Rightarrow 3 x+y=\frac{12}{5} \end{array}\)
