Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện \({z^2} = {\left| z \right|^2} + \bar z\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(\overline z = a – bi,\;\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Ta có \({z^2} = {\left| z \right|^2} + \bar z \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a – bi \Leftrightarrow 2abi – {b^2} = {b^2} + a – bi\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2ab = – b\\ – {b^2} = {b^2} + a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\\2{b^2} + a = 0\end{array} \right.\)
\(b = 0 \Rightarrow a = 0 \Rightarrow z = 0\)
\(a = – \frac{1}{2} \Rightarrow {b^2} = – \frac{a}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\b = – \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\\z = – \frac{1}{2} – \frac{1}{2}i\end{array} \right.\)
Vậy có 3 số phức thỏa ycbt.
