Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 2i} \right| = 1\) và \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z \) là số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\).
Theo giả thiết:
\(\left| {z – 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {a + bi – 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 4b + 3 = 0\) (1).
Mặt khác \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + a – bi = a + bi + ai – b + a – bi = 2a – b + ai\) là số thuần ảo nên 2a – b = 0 hay b = 2a.
Thay b = 2a vào (1), ta được: \( \Leftrightarrow {a^2} + 4{a^2} – 4.2a + 3 = 0 \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
Với a = 1, ta có: b = 2
Với \(a = \frac{3}{5}\), ta có: \(b = \frac{6}{5}\)
Vậy có 2 số phức z thỏa đề: \(z = 1 + 2i,z = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i\)
