Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = \left| {\bar z + 4 – i} \right|\) và \(\left| {z – 2} \right| = \sqrt {10} \)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\)
Theo giả thiết, ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline z + 4 – i} \right|\\\left| {z – 2} \right| = \sqrt {10} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi – 1 + 2i} \right| = \left| {a – bi + 4 – i} \right|\\\left| {a + bi – 2} \right| = \sqrt {10} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a + 4} \right)^2} + {\left[ { – \left( {b + 1} \right)} \right]^2}\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 10a + 2b = 12\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {6 + 5a} \right)^2} = 10\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\26{a^2} + 56a + 30 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\\left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = – \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{15}}{{13}}\\b = \frac{3}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy có 2 số phức z thỏa đề: z = – 1 + i và \(z = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{3}{{13}}i\).
