Cho hai số phức \({z_1}, {z_2}\) thay đổi, luôn thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 1 – 2i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1}, {z_2}\). Khi đó \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = AB\).
Ta có A thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1\,;\,2} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\) và B thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {5\,;\, – 1} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\).
\({I_1}{I_2} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = 5 > {R_1} + {R_2} = 3\) nên hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) ở ngoài nhau.
Vậy \({P_{\min }} = {I_1}{I_2} – {R_1} – {R_2} = 5 – 1 – 2 = 2\).
