Cho hai số phức \({z_1}\,,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử số phức \({z_1} = a + bi(a,b \in \mathbb{R};\,{i^2} = – 1)\).
\(\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 8\).
Gọi điểm \({M_1}\) biểu diễn số phức \({z_1}\). Suy ra \({M_1}\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( {2;\,1} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Giả sử số phức \({z_2} = x + yi(x,y \in \mathbb{R};\,{i^2} = – 1)\).
\(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x – 7} \right)^2} + {\left( {1 – y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow – 10x + 25 + 2y + 1 = – 14x + 49 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x + 4y – 24 = 0 \Leftrightarrow x + y – 6 = 0\).
Điểm \({M_2}\left( {x\,;\,y} \right)\) biểu diễn số phức \({z_2}\). Suy ra \({M_2}\) thuộc đường thẳng \({\Delta _1}:\,x + y – 6 = 0\).
Điểm \({M_3}\left( { – y\,;\,\,x} \right)\) biểu diễn số phức \(i{z_2}\). Ta thấy \({M_3}\) là ảnh của điểm \({M_2}\) qua phép quay tâm O, góc quay \({90^0}\). Suy ra \({M_3}\) thuộc đường thẳng \({\Delta _2}:\,x – y + 6 = 0\).
Khi đó: \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right| = {M_1}{M_3}\). Do đó \(\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {M_1}{M_3}\) nhỏ nhất. Suy ra: \(\min \left\{ {\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|} \right\} = d\left( {I;\,{\Delta _2}} \right) – R = \frac{{\left| {2 – 1 + 6} \right|}}{{\sqrt 2 }} – 2\sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
