Giả sử \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(\left| {\left( {2 + {\rm{i}}} \right)\left| z \right|z – \left( {1 – 2{\rm{i}}} \right)z} \right| = \left| {1 + 3{\rm{i}}} \right|\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\). Tính \(M = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết, ta có \(\left| {\left( {2\left| z \right| – 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 2} \right){\rm{i}}} \right|.\left| z \right| = \sqrt {10} \)
\( \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {2\left| z \right| – 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2}} \right].{\left| z \right|^2} = 10\)
\( \Leftrightarrow 5{\left| z \right|^4} + 5{\left| z \right|^2} – 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\) (vì \(\left| z \right| \ge 0\)).
Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}{\rm{i}}\) và \({z_2} = {x_2} + {y_2}{\rm{i}}\).
Ta có \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\) nên \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1\)
Mặt khác, \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\) nên \({\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2} = 1\).
Suy ra \({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = \frac{1}{2}\).
Khi đó \(M = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {2{x_1} + 3{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {2{y_1} + 3{y_2}} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {4\left( {x_1^2 + y_1^2} \right) + 9\left( {y_1^2 + y_2^2} \right) + 12\left( {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}} \right)} \)
Vậy \(M = \sqrt {19} \)
