Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(z + 2 + i – \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0\) và \(\left| z \right| > 1\). Tính P = a + b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Ta có: \(z + 2 + i – \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) + \left( {b + 1} \right)i = \left| z \right| + i\left| z \right|\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = \left| z \right|\\b + 1 = \left| z \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} & \left( 1 \right)\\b + 1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(a – b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = a + 1\). Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được
\(a + 2 = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 > 1 & \left( {{\rm{do}}\,\left| z \right| > 1} \right)\\{a^2} – 2a – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3\). Suy ra b = 4
Do đó z = 3 + 4i có \(\left| z \right| = 5 > 1\) (thỏa điều kiện \(\left| z \right| > 1\)).
Vậy \(P = a + b = 3 + 4 = 7\)
