Tam giác ABC có \(A B=c, B C=a, C A=b\). Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức \(a^{2}+b^{2}=5 c^{2}\) . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
\(A M^{2}=\frac{A C^{2}+A B^{2}}{2}-\frac{B C^{2}}{4}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4} \Rightarrow A G^{2}=\frac{4}{9} A M^{2}=\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}{9}-\frac{a^{2}}{9}\)
\(B N^{2}=\frac{B A^{2}+B C^{2}}{2}-\frac{A C^{2}}{4}=\frac{c^{2}+a^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4} \Rightarrow G N^{2}=\frac{1}{9} B N^{2}=\frac{c^{2}+a^{2}}{18}-\frac{b^{2}}{36}\)
Trong tam giác AGN ta có:
\(\begin{aligned} &\cos A G N=\frac{A G^{2}+G N^{2}-A N^{2}}{2 . A G \cdot G N}=\frac{\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}{9}-\frac{a^{2}}{9}+\frac{c^{2}+a^{2}}{18}-\frac{b^{2}}{36}-\frac{b^{2}}{4}}{2 \cdot \sqrt{\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}{9}-\frac{a^{2}}{9} \cdot \sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{18}}-\frac{b^{2}}{36}}}\\ &=\frac{\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}{9}-\frac{a^{2}}{9}+\frac{c^{2}+a^{2}}{18}-\frac{b^{2}}{36}-\frac{b^{2}}{4}}{2 \cdot \sqrt{\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}{9}-\frac{a^{2}}{9} \cdot \sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{18}}-\frac{b^{2}}{36}}}=\frac{10 c^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{36 \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{2\left(b^{2}+c^{2}\right)}{9}-\frac{a^{2}}{9} \cdot \sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{18}-\frac{b^{2}}{36}}}}=0\\ &\Rightarrow \widehat{ A G N}=90^{\circ} \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Trong hình dưới đây \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) . bằng :
-
Trên mặt phẳng tọa độ \({\rm{Ox}}y\) cho hai điểm \(A(1;3)\) và \(B(4;2)\). Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho \(DA = DB\).
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {6 + x;y - 2} \right);\overrightarrow b \left( {1;2} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = 2\overrightarrow b.\)
-
Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC =18 cm và có diện tích bằng \(64 \mathrm{cm}^{2}\) . Giá trị sin A ằng:
-
Cho tam giác ABC biết a=14cm,b=18cm,c=20cm. Tính \(\hat A\)
-
Tích vô hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow a = \left( {4;1} \right);\overrightarrow b = \left( {3;0} \right)\) là:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B(-3;1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A
-
Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 4\)và \(AC = 6\). Lấy các điểm M, N định bởi: \(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 (x \ne - 1)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM.
-
Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Khi đó \((\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{O P})\) bằng
-
\(\text{Cho }\overrightarrow a = \left( {7 + x;4 - y} \right);\overrightarrow b \left( {1;4} \right).\text{Tìm giá trị của x, y sao cho }\overrightarrow a = \overrightarrow b.\)
-
Tính: \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2}\)
-
Đơn giản các biểu thức \(B=\frac{1}{\sin x} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+\cos x}+\frac{1}{1-\cos x}}-\sqrt{2}\)(giả sử biểu thức có nghĩa)
ta được: -
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm \(A( - 1;1),B(0;2),C(3;1)\) và \(D(0; - 2)\). Tứ giác ABCD là hình gì?
-
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5 ; B C= 7; C A=8. \text{ Tính nửa chu vi của tam giác ABC.}\)
-
Tam giác ABC vuông ở A và có \(\widehat B = 50^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {4m + \frac{1}{2};1} \right);\overrightarrow b =\left( { - 1;5} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a;AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC và điểm D bất kì thuộc cạnh AC. Tính AD theo a để\(B D \perp A M\)
-
Rút gọn biểu thức: \(4{a^2}{\cos ^2}{60^0} + 2ab.{\cos ^2}{180^0} + \dfrac{4}{3}{b^2}{\cos ^2}{30^0}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=\sqrt{3}+1 ; B C= \sqrt{6} ; C A=2. \text{ Tính số đo của } \hat{C}\)
