Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 4\)và \(AC = 6\). Lấy các điểm M, N định bởi: \(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 (x \ne - 1)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} ) = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)
và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{{x + 1}}(\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} ).\)
AN vuông góc với BM \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)(3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = 0\)\( \Leftrightarrow (3 - x)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right).12 - 16 + 3x.36 = 0\) \( \Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{{24}}\).
