Giải phương trình \(\sqrt{3} \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=2 \sin 2 x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x \text { và } \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x\)
Do đó phương trình \(\Leftrightarrow -\sqrt{3} \sin x-\cos x=2 \sin 2 x \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x+\cos x=-2 \sin 2 x\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=-\sin 2 x \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin 2 x \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin (-2 x)\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x+\frac{\pi}{6}=-2 x+k 2 \pi \\ x+\frac{\pi}{6}=\pi+2 x+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{18}+k \frac{2 \pi}{3} \\ x=-\frac{5 \pi}{6}-k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\)
Xét nghiệm \(x=-\frac{5 \pi}{6}-k 2 \pi\Rightarrow x=\frac{7 \pi}{6}+k^{\prime} 2 \pi\)(k=-1-k', \(k \in \mathbb{Z}, k^{\prime} \in \mathbb{Z}\))
Vậy phương trình có nghiệm \(x=-\frac{\pi}{18}+k \frac{2 \pi}{3}, x=\frac{7 \pi}{6}+k^{\prime} 2 \pi\left(k, k^{\prime} \in \mathbb{Z}\right)\)
