Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx – \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định : \(D = \mathbb{R}.\)
\(y’ = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\).
Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y’ \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge – m,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow – m \le \,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right)\),với \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}\left( 1 \right)\).
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} = \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{1}{{{2^5}}}}} = \frac{5}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó \(\,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \( – m \le \frac{5}{2}\, \Leftrightarrow m \ge – \frac{5}{2}\). Do m nguyên âm nên m = – 1 hoặc m = – 2.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên dưới.
Hỏi hàm số \(g(x)=f(1-x)+\frac{x^{2}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng nào? -
Hàm số \(y=-x^3+3x+5\) đồng biến trên khoảng nào sau đây
-
Cho đồ thị hàm số với \(x\; \in \;\left[ { - \;\frac{\pi }{2}\;;\;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) như hình vẽ.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với \(x\; \in \;\left[ { - \;\frac{\pi }{2}\;;\;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)
-
Cho hàm số \(y=\frac{m \cot x+8}{2 \cot x+m}\)( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảg \(\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right) ?\)
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{(m-1) x-m}{x+2 m}\) . Tập hợp các giá trị nguyên m để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ; 0) \) là?
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{5}{m^2}{x^5} – \frac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} – \left( {{m^2} – m – 20} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
-
Hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 5\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y=\frac{mx+2m–3}{x–m}\) (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
-
Hàm số \(y=-x^{4}+8 x^{2}+6\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? -
Cho hàm số f(x) = - 2x3 + 3x2 – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(y=\frac{m x+8}{x+2 m}\)( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \([-2020 ; 2020]\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((2 ;+\infty) ?\)
-
Cho hàm số \(f(x)=x^{3}-3 x+1 . \) . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số \(y=f(m-x)+(m-1) x\) đồng biến trên khoảng (8;9)
-
Công suất P (đơn vị W ) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin 12V được cho bởi công thức \(P=12 I-0,5 I^{2}\) với I (đơn vị A ) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện
-
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn \([-10 ; 10]\) để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+2 m\right) x-3\) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?
-
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó f (x ) đồng biến trên các khoảng nào?
-
Cho hàm số f(x). Đồ thị y=f'(x) cho như hình bên. Hàm số \(g(x)=f(x-1)-\frac{x^{2}}{2}\) nghịch biến trong khoảng nào dưới đây
-
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 1\) đồng biến trên các khoảng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m đề hàm số \(f(x)=-x^{3}+3(m+1) x^{2}+3(2 m-1) x+2020\) nghịch biến trên tập xác định của nó?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \((-\infty;1)\), \((1;+\infty)\) và có bảng biến thiên sau.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 1\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
