Để tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$, điều kiện cần và đủ là $a \neq 0$ và $\Delta > 0$.
- Xét $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$, ta có $a = 2 > 0$ và $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$. Do đó, $f(x)$ luôn dương trên $\mathbb{R}$ và không đổi dấu.
- Xét $g(x) = -x^2 + 3x - 4$, ta có $a = -1 < 0$ và $\Delta = 3^2 - 4(-1)(-4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Do đó, $g(x)$ luôn âm trên $\mathbb{R}$ và không đổi dấu.
- Xét $h(x) = 4 - 3x^2 = -3x^2 + 4$, ta có $a = -3 < 0$ và $\Delta = 0^2 - 4(-3)(4) = 48 > 0$. Vì $\Delta > 0$, $h(x)$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Vậy, chỉ có $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Số tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ là 1. Tuy nhiên, đề bài hỏi "số tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ ", có lẽ ý của người ra đề muốn hỏi có bao nhiêu khoảng mà tam thức đổi dấu.
$h(x) = -3x^2+4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Vậy có 2 khoảng $(-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ và $(\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$ mà $h(x)$ âm và khoảng $(-\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}})$ mà $h(x)$ dương. Vậy $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Vì cả $f(x)$ và $g(x)$ đều không đổi dấu trên $\mathbb{R}$, vậy chỉ có $h(x)$ đổi dấu, nên đáp án là 1 tam thức đổi dấu.
Nhưng vì $h(x)$ đổi dấu 2 lần, đề có thể muốn hỏi "số lần" đổi dấu, chứ không phải số lượng tam thức. Do đó đáp án có thể là 2.