Số nghiệm của phương trình \(\sin 5 x+\sqrt{3} \cos 5 x=2 \sin 7 x\) trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\sin 5 x+\sqrt{3} \cos 5 x=2 \sin 7 x\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 5 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x=\sin 7 x \Leftrightarrow \sin \left(5 x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin 7 x\)
\(\Leftrightarrow \sin 7 x=\sin \left(5 x+\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} 7 x=5 x+\frac{\pi}{3}+k 2 \pi \\ 7 x=\pi-\left(5 x+\frac{\pi}{3}\right)+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x=\frac{\pi}{6}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{18}+\frac{k \pi}{6} \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\)
+\(0<\frac{\pi}{6}+k \pi<\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{1}{6}<k<\frac{1}{3} \stackrel{k \in Z}{\longrightarrow} k=0 \rightarrow x=\frac{\pi}{6}\)
+\(0<\frac{\pi}{18}+k \frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{1}{3}<k<\frac{8}{3} \stackrel{k \in Z}{\longrightarrow}\)\(\left[\begin{array}{l} k=0 \rightarrow x=\frac{\pi}{18} \\ k=1 \rightarrow x=\frac{2 \pi}{9} \\ k=2 \rightarrow x=\frac{7 \pi}{18} \end{array}\right.\)
Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.
