Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({\left| {z – 1} \right|^2} + \left| {z – \overline z } \right|i + \left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = 1\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi z = a + bi; \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi\).
Ta có: \({\left| {z – 1} \right|^2} = {\left| {a + bi – 1} \right|^2} = {\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2}, \left| {z – \overline z } \right|i = \left| {a + bi – a + bi} \right|i = \sqrt {{{\left( {2b} \right)}^2}} i = 2\left| b \right|i\), \({i^{2019}} = – i, \left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = – i\left( {a + bi + a – bi} \right) = – 2ai\).
Suy ra phương trình đã cho tương đương với: \({\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} + 2\left| b \right|i – 2ai = 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} = 1\\2\left| b \right| – 2a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – 2a + {b^2} = 0\\a = \left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left| b \right|^2} – 2\left| b \right| = 0\\a = \left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left| b \right| = 0\\\left| b \right| = 1\end{array} \right.\\a = \left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.
